一間老舊的精神病院，隱藏在陰暗無光的山林之間，即使是天上熊熊燃燒的大火球綻放的無盡光和熱都無法照亮這片陰暗的區域。
安靜詭異的氛圍，讓這裏就像是某個恐怖電影的拍攝現場。
兩個外貌看起來跟強大無關的人就像是誤入危險場所的貪玩小孩，屬於在恐怖片開頭就被獻祭的那種。
“不過，換一個思路，在恐怖片裏全身長滿肌肉的強壯成年一般都是用來展示鬼怪不可抵抗的強大力量的墊子。”
“與此相反，反倒是孱弱的老人、天真可愛的小孩、被人欺淩的柔弱女子，這些常識中的弱者反而會具有抵製鬼怪的奇特能力。”
李恒仰頭看向天空中熊熊燃燒的太陽，就算是牛頓和萊布尼茨的光芒，也在這間精神病院門前止步不前。
大門緩緩向著兩側打開，露出了門後隱藏的場景：
開闊的庭院，院子裏種著一棵掛滿了大紅棗子的棗樹，一個清澈的遊泳池裏放著一個漏氣的黃色遊泳圈，看起來有些像是之前阿基米德的澡盆。
很普通的場景，與在外麵感受到的陰森恐怖氛圍完全相反，隻是一座很普通的建築。
“雖然數學家、哲學家往往會被人和孤僻天才、精神異常的瘋子人設聯係在一起。但康托爾建立集合論和超窮數理論的大部分工作都是在他精神正常的時候完成的。”
“我們探究的當然不是人生晚期住進精神病院裏的康托爾，而是他發現超窮數的思想。”
李恒帶著阿基裏斯走進了這間空無一人的精神病院，目光投向那棵長滿了紅色棗子的棗樹。
長滿觸手的頭足類生物，全身血肉模糊、滿是眼睛和嘴巴的可怕生物，有著超凡靈異力量、能隱形穿牆瞬移的鬼怪幽靈。
說到底，這些令人恐懼的要素都是以地球人的視角而產生的。
無垠的宇宙中將這些恐懼要素視為美麗、高貴、可愛形象的智慧文明到處都是，莎布尼古拉斯的形象在很多文明中都是“高貴迷人的女王”。
比起這種外貌上的怪異形象，他更喜歡克係小說中對尤格索托斯的描繪。
令人恐懼的不是怪異醜陋的外表，而是超越人類智慧邊界的知識。
用理性和邏輯去探尋的事物，最終卻發現以凡人有限的理性永遠無法理解它們。
所有人類——這個詞指的是廣義上的人類。
不僅是狹義上的地球智人，還包括遠古的尼安德特人、能人，以及千百萬年以後不知是否存在的未來人類。
宇宙中其他星球上的碳基智慧生命、矽基智慧生命。
還有那些生存在空間不均勻的非整數世界中的修仙文明、魔法文明、武道文明之類亂七八糟的文明。
不論是銀河係裏的地球人，還是在這個無窮小的無理數世界裏的牛頓與萊布尼茨兩大天尊。
所有人類眼中都同樣不可理解、不可言及的神秘未知之物。
“自然數，整數，有理數，無理數，實數。”
“從蘇美爾文明的楔形文字開始，一直到幾千年後完整的實數定義，無縫連續的直線終於在代數上有了與之對應之物。”
“理所當然的，離散和連續之間的差異，就會讓人聯想到無窮之間也有差異。”
“自然數、整數、有理數，它們的數量都是無限，但它們都是離散的，充滿了漏洞和空隙。”
“實數卻是連續的，那麽兩者之間的本質差別是否就是因為實數比其他數的數量更多？”
“也就是說，存在一個比人類常識中的無窮更大的無窮。”
李恒伸手從棗樹上取下一顆大紅棗，塞到了阿基裏斯的嘴邊。
“啊嗚。”
一口將這顆大紅棗吞下，阿基裏斯品味著那甜滋滋的味道，感受到有絲絲縷縷的信息從棗子裏湧了出來。
她現在終於有些理解李恒所謂的吃東西是什麽意思了。
“知識就是食物，原來是這樣的感覺。”
紅棗裏麵裝著的信息是伽利略對於無窮的理解，使用的方法正是人類對數的認知的源頭，最基本的一一對應思想。
利用一一對應的方法，即使沒有辦法確切的數完集合中的每一個元素，也能比較不同集合元素的數量。
這一點就像是在舞會上一一配對跳舞的男性和女性，每個人都已經找到了自己的舞伴。
雖然參加舞會的人數可能有一百億甚至是無窮多，但隻要知道每個人都已經有了自己對應的舞伴，沒有孤零零留在一邊的落單者，那就說明參加舞會的男女數量是一樣多的。
伽利略用一一對應的方法操作的是自然數和完全平方數：
1→1，2→4，3→9，4→16，……n→n^2……
在直觀上看來，全體完全平方數顯然是自然數的一個真子集。
但通過在自然數和完全平方數之間建立一一對應，伽利略發現自然數和完全平方數的數量是一樣多的。
這種矛盾之處完全違背了歐幾裏得的公理“整體總是大於部分”，也是有限的人類認為他們無法處理無限的重要理由之一。
既然存在明顯的矛盾之處，那麽實無窮顯然是不存在的。
根本沒有一個已經完成的“全體自然數”集合，隻有無限延伸、永遠數不到盡頭的自然數。
“問題在於，無窮的這種性質是否真的有矛盾之處？”
“如果說過去人類還可以用潛無窮的思想把∞拋在一邊，但隨著微積分和實數理論的建立，一個描述實無限的理論已經迫在眉睫。”
“每一個無理數都是一個已完成的無窮序列，如果沒有實無窮，那就沒有無理數，微積分的理論基礎也就完全消失了。”
李恒再次伸手從棗樹上摘下一顆棗子，這一次他直接塞到自己的嘴裏吃了下去。
“康托爾不認為這種性質是有矛盾的，雖然它違反了人類一直以來的直覺，但卻並不違背邏輯。”
“所謂的矛盾，隻不過是人類將處理有限數的方法推廣到了無限之上，這就像用牛頓的運動定律去處理接近光速的高速物體一樣。”
“在他看來，對於數學來說，隻要一個理論是一致且相容的，沒有自相矛盾之處，那它就是可以被接受的，除此之外沒有其他多餘的標準。”
“因此，康托爾將部分與整體一樣大、集合的真子集與自身一樣大作為無窮集合的基本性質。”
“有了一一對應的方法，那麽很容易就能得到以下結論：奇數、偶數、素數、整數，這些數構成的集合都能與全體自然數形成一一對應。”
“它們的數量都是一樣的，有著同樣的基數。”
“整數和自然數的基本特征就是可以一個接著一個地列出來，知道了前一個數就能寫出後一個數，康托爾將這種性質稱為【可數性】。”
“於是，具有和全體自然數集合相同基數的無窮大就被稱為【可數無窮】。”
“這就是第一個超窮基數N0”
“其他無窮集合的基數可以通過這個基準的基數來計算，也就是把它們與N0比較，看看它們是否能和自然數建立一一對應。”
對無窮集合，絕不可能真正完成配對的過程。
隻要能建立一個一一對應的操作程序，使得對第1個，n個，和（n+1）個成立，就可以通過數學歸納法證明，這種對應對兩個集合從頭到尾都成立。
有了作為基準的可數無窮，接下來的難題就是對於有理數的處理。
有理數看起來處處稠密，在直覺上根本無法像是自然數和整數一樣一一列舉出來。
但無理數的存在表明有理數並不連續，依舊是離散的。
既然如此，那麽有理數或許也能用某種方式像是自然數一樣一一列出，基數同樣是可數無窮。
“想要證明這一點，需要用一種方法將有理數排列成類似自然數的形式，這種方法被稱為集合的可數化。”
“每一個有理數可以表示為p/q的形式，簡單起見，隻選擇正有理數，對於無窮集合這種處理不會影響結果。”
康特爾首先將這些有理數排列成一個二維矩陣的形式。
第一行是所有p/1形式的有理數，也就是所有的整數。
第二行是所有p/2形式的有理數，第三行是所有p/3形式的有理數，以此類推。
然後在這張二維矩陣上畫了一條Z字形的線，將矩陣上列出的所有有理數排列成一行。
1，2，1/2，1/3，2/2，3，4，3/2，2/3，1/4，1/5，2/4，3/3，4/2，5，6……
將這個有理數序列中所有重複的非最簡形式分數去掉，得到一個有理數序列：
1，2，1/2，1/3，3，4，3/2，2/3，1/4，1/5，……
所有的有理數完成了可數化，能夠與自然數集合完成一一對應。
因此，看似無窮稠密的有理數的數量與自然數相等，依舊是N0。
阿基裏斯咀嚼著口中的紅棗，她汲取著其中的信息，接著有些驚訝地問道：
“就算加入了比有理數多得多的無理數，額，這裏把它們叫做無理代數數，依舊還是可數無窮？”
她在這顆紅棗裏看到了一個名為劉維爾的數學家做的有關於代數數和超越數的證明。
一個實數如果是某個具有整係數的多項式方程的解，就把它稱為代數數。
根號2是代數數，因為它是整係數二次方程x^2-2=0的一個解。
有理數就是一次整係數方程的解，代數數代表著有理數的擴充。
劉維爾不等式是一個有關於無理代數數和有理數的不等式。
通俗來說，這個不等式表明有理數作為無理代數數的鄰居，其數量少得可憐。
“沒錯，無理數之間也是不一樣的。”
“如根號2、根號3等實代數數同樣可以像有理數一樣進行可數化，因此雖然它們比有理數多得多，但數量還是與自然數一樣多。”
李恒從口袋裏掏出那條白色的數軸，用手指敲了敲上麵那些意義不明的奇怪符號。
“所以，真正讓實數軸具有連續性的不是無理代數數，而是那些更奇怪的超越數。”
“說回實數集的基數，康托爾用來證明實數集不可數的方法是反證法。”
首先假設實數集是可數的，可以用類似於上麵使用過的可數化方法，將所有的實數都列舉出來。
①X1.a1a2a3……
②X2.b1b2b3……
③X3.c1c2c3……
通過一一列舉的方法，列舉出一個有著無窮個無限小數的數表。
想要證明這張數表無法列舉出所有實數，就要構造出一個反例，表明它不可能出現在這張表裏。
這種方法被稱為對角線證明。
令一個實數R的小數部分為（a1-1），（b2-1），（c3-1）……當0-1時令其為9。
這個實數R小數點後的第1位與列表中的第一個實數的第一位不同，小數點後的第2位與列表中的第二個實數的第二位不同。
以此類推，實數R小數點後的第n位與列表中第n個實數的第n位不同。
這就是這個證明被稱為對角線法的原因，新的實數R所取的小數來自列表中全體實數的一條對角線上。
最終，這個新的實數與列表中的每一個實數都不同，一張無限長的列表也無法寫出全部的實數。
由此得出與假設不同的矛盾，從而證明實數是不能可數化的。
實數集與自然數集無法一一對應，它是一個比可數無窮更大的無窮。
如此便有了三個基本的層次：
有限，可數無限，不可數無限。
康托爾將連續統的基數稱為c。
在這之後他做了一些更深入的證明，即線段=直線，直線=平麵。
實數軸【0，1】區域點的數量與整條實數軸一樣多，線、麵、體都是等價的點集，基數都是連續統的基數c。
它們都是一樣的無限大，維度差異根本無關緊要。
這意味著能夠用一個坐標來唯一確定一個n維連續空間的點，而不需要隨著維度增加而添加更多的空間坐標。
“這個問題有些超綱了，我們當前探究的隻是實數軸和連續統，關於線=麵=體的反直覺問題暫且略過。”
李恒的臉頰鼓起來一小塊，這讓他看起來有些像是在吃花生的倉鼠。
嘎嘣嘎嘣的清脆聲響在這間無人的庭院中響起，阿基裏斯抬頭看去，那棵大紅棗樹上麵的紅棗已經隻剩下寥寥幾個，看起來有種荒涼感。
那些紅棗小部分到了她的肚子裏，大部分都被李恒吞下了肚。
還好康托爾不在這裏，不然大概要跟他們這兩個不告而取的家夥打上一架。
以己度人，要是他自己種的紅棗被陌生人跑進來吃了個精光，那她肯定要氣的半死。
“不，他一直在邊上看著咱們。”
李恒抬手指向棗樹的根部。
“這是個脾氣很好的老頭，跟掛在天上的那個大太陽不太一樣。”
阿基裏斯聞言看向棗樹，她握住胸前的螺旋狀鑰匙，用那個看不到具體尖端的小點對準了那裏，終於看到了躺在棗樹底下的第三人。
一個臉上布滿皺紋，頭發散亂的白發老頭子，眼中有著呆滯和茫然，仰著頭躺在那裏不知道在想些什麽。
“他對我們討論的東西並不感興趣，也不在意我們吃掉他種的紅棗，隻喜歡一個人待著思考自己的問題。”
“雖然是個精神病老頭，但沒有什麽攻擊性，不像上個世界的畢達哥拉斯那樣危險。”
李恒從那棵變得光禿禿的棗樹上摘下最後幾個紅棗，塞到了身旁白發女孩的手掌心裏。
“最後幾個了，這可是康托爾親手種下的好東西，比人參果還厲害的寶貝，聞一聞味道就能獲得一念生滅多元宇宙的力量。”
雖然同樣都是可數無窮，但無理代數數和自然數集合、有理數集合當然有很大區別。
用基數衡量力量層次是一種很粗糙的方法，在無限領域，即使是相同的基數，具備的力量也是天差地別。
這涉及到更複雜的超窮序數和超圖靈機的力量層次，從可數無窮到不可數無窮之間還有著極度複雜的結構。
用有限世界的情況進行不太準確的類比，一個一千克的血肉大腦和一團一千克的棉花是不一樣的，一百億人組成的智慧文明和一塊十億噸重的石頭也是不一樣的。
“噢……這麽厲害啊。”
阿基裏斯仔細看了兩眼，抬手就把這幾顆珍貴的紅棗塞進了嘴中，隨意地嚼了兩下就吞了下去。
味道確實比最初在地球上吃的烤牛排要好不少。