一 歐拉定理
初等數論中的歐拉定理
定理內容
在數論中，歐拉定理（也稱費馬-歐拉定理）是一個關於同餘的性質。歐拉定理表明，若n,a為正整數，且n,a互素，(a,n) = 1，則
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
證明
首先證明下麵這個命題：
對於集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大於n且與n互素的數，即n的一個化簡剩餘係，或稱簡係，或稱縮係)，考慮集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
則S = Zn
1) 由於a,n互質，xi也與n互質，則a*xi也一定於n互質，因此
任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一個元素
2) 對於Zn中兩個元素xi和xj，如果xi ≠ xj
則a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，這個由a、n互質和消去律可以得出。
所以，很明顯，S=Zn
既然這樣，那麽
（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
考慮上麵等式左邊和右邊
左邊等於(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
右邊等於x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互質
根據消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推論：對於互質的數a、n，滿足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
費馬定理:
a是不能被質數p整除的正整數，則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
證明這個定理非常簡單，由於φ(p) = p-1，代入歐拉定理即可證明。
同樣有推論：對於不能被質數p整除的正整數a，有a^p ≡ a (mod p)
平麵幾何裏的歐拉定理
定理內容
設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d^2=R^2-2Rr．
證明
O、I分別為⊿ABC的外心與內心．
連AI並延長交⊙O於點D，由AI平分ÐBAC，故D為弧BC的中點．
連DO並延長交⊙O於E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．
由圓冪定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直線OI與⊙O交於兩點，即可用證明）
但DB=DI（可連BI，證明ÐDBI=ÐDIB得），
故隻需證2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．
而這個比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．
拓撲學裏的歐拉公式
V+F-E=X(P)，V是多麵體P的頂點個數，F是多麵體P的麵數，E是多麵體P的棱的條數,X(P)是多麵體P的歐拉示性數。
如果P可以同胚於一個球麵（可以通俗地理解為能吹脹成一個球麵），那麽X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球麵，那麽X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓撲不變量，是拓撲學研究的範圍。
經濟學中的"歐拉定理"
在西方經濟學裏，產量和生產要素L、K的關係表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數形式是一次齊次的，那麽就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，換句話說，產品分配淨盡取決於Q能否表示為一個一次齊次函數形式。
因為ðQ/ðL＝MPL＝w/P被視為勞動對產量的貢獻，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被視為資本對產量的貢獻，因此，此式被解釋為"產品分配淨盡定理"，也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘。因為形式上符合數學歐拉定理，所以稱為歐拉定理。
【同餘理論中的"歐拉定理"】
設a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)
(注:f(m)指模m的簡係個數)
複變函數論裏的歐拉公式
定理內容
e^ix=cosx+isinx
e是自然對數的底，i是虛數單位。
它將三角函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係，它在複變函數論裏占有非常重要的地位。
將公式裏的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後采用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
這兩個也叫做歐拉公式。
"上帝創造的公式"
將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
e^iπ+1=0.
這個等式也叫做歐拉公式，它是數學裏最令人著迷的一個公式，它將數學裏最重要的幾個數學聯係到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裏常見的0。數學家們評價它是"上帝創造的公式"，我們隻能看它而不能理解它。
意義
（1）數學規律：公式描述了簡單多麵體中頂點數、麵數、棱數之間特有的規律
（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表麵是橡皮薄膜製成的，可隨意拉伸；方法上將底麵剪掉，化為平麵圖形（立體圖→平麵拉開圖）。
（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各麵的形狀、長度、距離、麵積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，麵數，棱數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
（4）提出多麵體分類方法：
在歐拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數。歐拉定理告訴我們，簡單多麵體f (p)=2。
除簡單多麵體外，還有非簡單多麵體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底麵相應頂點得到的多麵體。它的表麵不能經過連續變形變為一個球麵，而能變為一個環麵。其歐拉示性數f (p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多麵體的歐拉示性數為0。
（5）利用歐拉定理可解決一些實際問題
如：為什麽正多麵體隻有5種？ 足球與C60的關係？否有棱數為7的正多麵體？等
V+F-E=2的證明
方法1：（利用幾何畫板）
逐步減少多麵體的棱數，分析V+F-E
先以簡單的四麵體ABCD為例分析證法。
去掉一個麵，使它變為平麵圖形，四麵體頂點數V、棱數E與剩下的麵數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關係，隻需去掉一個麵變為平麵圖形，證V+F1-E=1
（1）去掉一條棱，就減少一個麵，V+F1-E不變。依次去掉所有的麵，變為"樹枝形"。
（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至隻剩下一條棱。
以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個麵，V+F-E =2。
對任意的簡單多麵體，運用這樣的方法，都是隻剩下一條線段。因此公式對任意簡單多麵體都是正確的。
方法2：計算多麵體各麵內角和
設多麵體頂點數V，麵數F，棱數E。剪掉一個麵，使它變為平麵圖形（拉開圖）,求所有麵內角總和Σα
一方麵，在原圖中利用各麵求內角總和。
設有F個麵，各麵的邊數為n1,n2，…，nF，各麵內角總和為：
Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度
=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）
另一方麵，在拉開圖中利用頂點求內角總和。
設剪去的一個麵為n邊形，其內角和為(n-2)·180角，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內角和為(V-n)·360度，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·180度。
所以，多麵體各麵的內角總和：
Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度
=（V-2）·360度（2）
由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度
所以 V+F-E=2.
方法3 用拓撲學方法證明歐拉公式
嚐試一下用拓撲學方法證明關於多麵體的麵、棱、頂點數的歐拉公式。
歐拉公式：對於任意多麵體（即各麵都是平麵多邊形並且沒有洞的立體），假設F，E和V分別表示麵，棱（或邊），角（或頂）的個數，那末
F-E+V=2。
證明 如圖（圖是立方體，但證明是一般的，是"拓樸"的）：
（1）把多麵體（圖中①）看成表麵是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多麵體的一個麵，就可以完全拉開鋪在平麵上而得到一個平麵中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個平麵圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們隻須證明F′-E′+V′=1。
（3）對於這個平麵圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平麵圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到隻剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。
即F′-E′+V′=1
成立，於是歐拉公式：
F-E+V=2
得證。
歐拉定理的運用方法
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
（2）複數
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多麵體
設v為頂點數，e為棱數，f是麵數，則
v-e+f=2-2p
p為歐拉示性數，例如
p=0 的多麵體叫第零類多麵體
p=1 的多麵體叫第一類多麵體
(5) 多邊形
設一個二維幾何圖形的頂點數為V，劃分區域數為Ar，一筆畫筆數為B,則有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)
(6). 歐拉定理
在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。
其實歐拉公式是有很多的，上麵僅是幾個常用的。
使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數
問：足球表麵由五邊型和六邊型的皮革拚成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？
答：足球是多麵體，滿足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示麵,棱,頂點的個數
設足球表麵正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的麵各有x個和y個，那麽
麵數F＝x＋y
棱數E＝(5x+6y)/2（每條棱由兩塊皮子共用）
頂點數V＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）
由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，
解得x＝12。所以，共有12塊黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的
對於白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。
所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的
那麽白皮子就應該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20
所以共有20塊白皮子
（或者，每一個六邊形的六條邊都與其它的三個六邊形的三條邊和三個五邊形的三條邊連接；每一個五邊形的五條邊都與其它的五個六邊形的五條邊連接
所以，五邊形的個數x=3y/5。
之前求得x=12，所以y=20）