“窮竭法作為微積分的雛形，被用來處理光滑的彎曲圖形，包括圓和拋物線等等。”
“但古希臘時代的阿基米德僅僅把這種無線切割和重組的思想用於處理靜止的物體。”
“一個圓被無限切割成沒有麵積的直線，將這無窮條直線重組成矩形計算出麵積。”
“一個球體被無限切割成沒有體積的薄片，將這無窮塊薄片重組成球體的體積。”
“將窮竭法與芝諾有關於靜止與運動的悖論相結合，這種無限切割的思想才能顯現出其真正的力量。”
“回到我們最初思考的穿過一條街道的問題，也就是所謂點動成線、線動成麵、麵動成體的常識。”
“很顯然，這種對靜止物體無限切割和重組的過程與物體的連續運動過程是一樣的，物體隨著時間流逝而運動的軌跡就如同增加了一個空間維度。”
“微積分與原始的窮竭法最大的不同之處就在於，這種新的工具被用於描述世間萬物的運動過程。”
“這就是我們接下來要去的世界，現代物理學的開端，萬物從靜止走向運動的時代，也是第二次數學危機的時代。”
李恒將書架上這本記錄著窮竭法與圓周率的舊書合上。
“當然，在去往那個世界之前，還需要先打敗畢達哥拉斯。”
阿基裏斯胸前那枚被改造成螺旋鑽頭狀的粉白色鑰匙緩緩漂浮而起，在那表麵的螺旋狀花紋中，布滿了密密麻麻的數字。
那是無限循環的0.99……，在螺旋的頂部，這個無限小數有了一個確切的末尾，表明它在經過無限次計算以後，結果精確的等於1。
“第一次數學危機帶來的結果就是不可數盡的無窮小數，現在你已經明白了無理數是什麽。”
“這枚螺旋鑰匙已經容納了一個完整的無窮序列，它被改造成了一台芝諾機，能完成無限次步驟的計算，具備實在無窮的力量。”
“芝諾機是超圖靈機的其中一種類型，有關於圖靈機和超圖靈機的力量層級，理解它們需要等到第三次數學危機以後。”
“人類數學的發展史就是研究無窮的曆史，三次數學危機都與無窮有關，理解了這三次危機，你才能理解無窮和連續統究竟是什麽。”
阿基裏斯伸手握住眼前這枚粉白色的螺旋鑰匙，眼前看到的視野瞬間被擴張到一個自己難以形容的狀態。
她看到了一個平坦的平麵上兩條無限延伸的平行線在無窮遠處交匯在同一點。
她看到了日取其半、萬世不竭的木棍在無窮次切割後被找到了不可分割的基本組成部分。
無限可分的微觀世界在這一瞬間不再無窮無盡，隻存在於形而上的理念世界中的實無窮似乎突然變成了直觀可見的清晰模樣。
就像是隱藏在0.99……無限循環的終點處那個最簡單的1一樣，在抵達無窮的那一刻，難以理解的複雜事物突然變得完美而簡潔。
於是，阿基裏斯的眼中倒映出隱藏在那個微觀世界裏晦暗不明、變換不定的陰影。
這個變換不定的陰影像是藏在深淵縫隙之中長著纖長觸須的頭足類生物。
那無數纖細的觸須從深淵中探出，連接在其他的無數生物身體上，汲取著他們的力量。
這團陰影很小很小，那些纖細的觸手更是遠遠小於上層世界的最小量子泡沫。
但它擁有的力量卻恰恰相反。
就像是傳說中的奇點一樣，這個隱藏在黑暗深淵間隙中的微小生物，掌握著遠超那些大體型生物的力量。
“那就是畢達哥拉斯？”
她心中有些吃驚，那個如同幽魂一樣的可怖陰影看起來並不比之前被她吃掉的那隻莎布尼古拉斯好看多少。
比起她手中掌握的完美而簡潔的實無窮，似乎這個還局限在有限世界裏的畢達哥拉斯更為可怖和不可名狀。
“無限的事物未必比有限的更複雜，人類研究無限宇宙找到的規律正是那些最簡潔最美麗的。”
“畢達哥拉斯已經走上了錯路，變成了尋找無窮之路上的一隻怪物。”
“幹掉他，或者吃掉他，然後我們就去下一站。”
李恒看著那團在深淵中蠕動的黑暗陰影，即使是這個世界裏的神聖兄弟會，也想不到他們的領袖已經變成了這種不成人形的醜陋怪物。
兩人之前遇到的那隻營養是中子星三十二億倍的莎布尼古拉斯並不是偶然。
那隻不太可愛的小生物就是受到畢達哥拉斯的意誌影響而誕生的東西。
在古希臘人的認知裏，無窮是充滿混亂的、不可理解的東西。
所謂無理數，就是不符合人類理性的數字。
這種認知在畢達哥拉斯尋找無窮的過程中化為了堅不可摧的信念。
它塑造了這個不允許無窮存在的世界，一個永遠被困在第一次數學危機中的世界。
同時，因為自身的這種信念，在尋找無理數的過程中，畢達哥拉斯本人也隨著越來越靠近無窮變成了這種不成人形的詭異模樣。
雖然稱不上是不可名狀，但卻很符合人類眼裏的古神形貌。
“吃？”
阿基裏斯回憶了一下那莎布尼古拉斯烤焦雞蛋的味道，微微搖了搖頭。
她舉起手中那枚粉白色的螺旋狀鑰匙，將它像是鑽頭一樣輕輕旋轉。
螺旋鑰匙的尖端位置，那個沒有大小的點以無窮的力量破開了層層阻隔，將無限可分的有理數世界瞬間切割到盡頭。
無盡的世界在這一刻被切割破碎，畢達哥拉斯扭曲的身影消失無蹤，在無窮小的世界盡頭，顯現出無盡燦爛的光輝。
阿基裏斯在這片純淨的白色光輝中微微眯起眼睛，她看到了兩道相對而立的身影。
他們穿著黑色的西裝，頭上有波浪般卷曲的白色假發，手中持有棕色的拐杖，正在激烈地爭吵著什麽。
“牛頓和萊布尼茨，這個世界的統治者，為了微積分的發明權吵得不可開交。”
李恒隨意地揮了揮手將這兩道在光輝中爭吵的人影拍散。
“看起來，似乎沒什麽不同？”
阿基裏斯仔細地觀察著眼前這個對應著無理數的世界。
普通的街道，普通的行人，雖然有著不同於現代地球的風貌，但無論是人與物都與她以前所在的地球沒什麽區別。
“雖然看起來沒什麽區別，但這裏的確與我們之前所在的世界不一樣。”
“畢達哥拉斯統治的那個有理數世界位於0～1兩個整數之間，我們現在所在的世界是位於兩個有理數之間的無窮小區域。”
“這裏是純粹的無理數的世界，你眼前所能看到的這個世界裏的任何一個物體，它們都容納著無窮的信息，即使是自身無窮小的組成部分也一樣。”
阿基裏斯聽著他話語中反複使用的“無窮小”，直覺感受到這裏麵有某些不太清晰的矛盾之處。
她低頭看著自己手掌上像是理想的圓一樣光滑、看不到最小尺度的皮膚，問出了心中的疑惑：
“有理數和整數不一樣，它們在數軸上的分布是如此的稠密，以至於根本無法找到彼此緊挨著的下一個有理數。”
“如果說因為有了那個超圖靈機的力量，所以能完成凡人不可能完成的任務，通過無限次切割，找到密密麻麻的有理數之間的空隙。”
“但為什麽我們本應該已經走到了無限可分盡頭的無理數世界，可這個世界看起來卻依舊還可以繼續無限分割下去？”
阿基裏斯說到此處伸出手掌，一縷空氣被她抓在掌心之中。
她微微用力，這團氣體就像是普通的氣體一樣被捏碎，從她的指縫之間溜走。
明明已經是位於兩個有理數之間無窮小的世界，卻依舊還藏著無限個無窮小的基本組成部分。
並且，這每一個無窮小的基本組成部分都是一個容納著實無窮序列的無理數。
如果還有著比無窮小更小的無窮小，那之前所謂的無窮小又算是什麽？
“沒錯，在原始的窮竭法和早期的微積分之中，有著許多模糊不清的地方。”
“雖然它們在計算光滑圖形的麵積上很有效，但它們的理論基礎卻並不堅固，如同一座空中樓閣。”
李恒抬手從眼前劃過，看著手掌的軌跡道：
“點動成線，在歐幾裏得的定義中，他將點稱作是沒有部分的東西。”
“一個沒有大小的東西，這個東西的長度自然就是0。”
“但點動成線，無窮個點的組合卻變成了有著某個具體且有限的長度的線。”
“古希臘人最討厭的0和∞又在這裏出現了，這種定義就和0×∞得出某個有限大小的數是一樣的。”
“在早期的微積分中，就充斥著這種麻煩的問題，本質上是微積分沒有能力處理無窮，無論是無窮大還是無窮小。”
“嗯，咱們邊走邊說。”
李恒拉著阿基裏斯的手邁步向著街道對麵走去。
這個白發女孩下意識地低頭看向兩人交疊在一起的手掌，回憶起最初地球上的那條街道。
還是一樣的觸感，但隨著她一點一點理解了“運動”、“觸碰”的難度，她對於人與人之間的接觸也有了與之前完全不一樣的理解。
“我見到的隻是我眼中的他，我觸碰到的手掌也隻是我腦海中認知的感受。”
“人在這個世界上所能感受到的其他人與物，其實都隻是自己腦海中的信息。”
“這大概就是所謂的心外無物，人終其一生所能感受到的僅有自己。”
從這恍惚間的思考中回過神來，阿基裏斯收回視線，抬頭看向麵前出現的東西。
那是一幅二維平麵直角坐標係，此刻漂浮在兩人的麵前，一條彎彎曲曲的曲線從原點出發，隨著兩人的步伐慢慢地向前移動。
“這是笛卡爾發明的坐標係，是解析幾何的基礎。它可以用來表示變量之間的關係，直觀的看到函數的圖像，將抽象的代數與直觀的幾何聯係在一起。”
“這張坐標係上，橫軸是時間t，縱軸是距離S。”
“從牛頓和萊布尼茨的微積分，到正式嚴謹的現代微積分，中間有很多複雜的東西可討論。”
“不過這裏不是高數課的課堂，所以用不著去學著計算那些麻煩的定積分、不定積分、常微分方程、偏微分方程。”
“現在要討論的隻是微積分和第二次數學危機的有關問題，這個問題與你的名字緊密相關。”
“從某種意義上來說，芝諾的思想其實太過超前。”
“正是他關於靜止與運動、離散與連續的悖論中所涉及到的東西——無窮小量，引起了第二次數學危機。”
芝諾悖論和無窮小量。
阿基裏斯低頭看向自己胸前的粉白色螺旋狀鑰匙，望著那個在這無窮小的世界裏仍舊看不到具體大小的尖端，她明白了過來。
0.99……，這是一個無窮級數。
想要讓0.99……=1，就需要邁出最後的那一步，也就是加上一個大小為9/∞的數值。
無法處理的惱人的無窮又在這裏出現了。
不僅僅是無窮小，還有那個讓阿基裏斯真正追上烏龜的最後一步的問題。
以有限的凡人的思想，這個無窮序列根本就沒有所謂的最後一步。
就像是台燈悖論，一個台燈經過無限次開關後的狀態是什麽？
用數字表示，就是1-1+1-1……的無窮級數求和。
如果根據（1-1）+（1-1）……來計算，那麽這個級數的和等於0。
如果根據1+（-1+1）+（-1+1）……，那麽這個級數的和就等於1。
兩種計算在數學上都是正當的，這個級數的和似乎既為1又不為1，但這是不可能的。
這是一種被稱為振**級數的發散級數，沒有收斂的有限值。
∞是奇數還是偶數？
從這個震**級數也能看出，無窮不是整數，沒有奇偶性，也沒有什麽最後一步可言。
同樣的，每一個無理數也根本沒有什麽最後一位的說法。
阿基裏斯抬頭看向麵前漂浮著的平麵坐標係上那條彎彎曲曲向上延伸的白色曲線道：
“所以，第一次數學危機是有關於無法數盡的無理數的無窮大的問題，第二次數學危機其實是有關於無窮小的問題？”
難怪說無窮大和無窮小是同樣的麻煩，與無窮有關的東西就沒有簡單的。
李恒指著麵前的平麵直角坐標係道：
“函數中最簡單的是線性關係，行走時勻速前進v=s/t，每一個時刻的速度都等於平均速度。”
“但實際上很難遇到這種理想的狀況，從靜止到運動有加速、從運動到靜止有減速。”
“世界上到處都是非線性的事物，想要描述這種不均勻的非線性狀態，就必須用到微積分。”
“速度等於距離除以時間，利用微分的無窮切割思想，要做的就是將這條曲線截取無窮小的一部分。”
“在這無窮小的一部分上，曲線變成了直線，因此就可以用之前計算線性運動的方式來計算瞬時速度。”
“v=ds/dt，曲線上每一點的瞬時速度就是這一點的切線的斜率。”
李恒將麵前的平麵直角坐標係放大，把路程中的其中一小段曲線挑選了出來。
“這段曲線的函數表達式是s=t^3”
“假設我們現在用無窮小的時間dt走出了一個無窮小的距離ds。”
“從而得到等式，S+ds=t^3+3t^2dt+3t（dt）^2+（dt）^3”
“然後，按照微積分的計算方式，因為等式右側包含（dt）^2和（dt）^3的項是比無窮小更小的高階無窮小，所以可以直接舍去，隻保留等式中最低階的無窮小dt和ds。”
“於是s+ds=t^3+3t^2dt，得出ds/dt=3t^2，這就是這條曲線的切線斜率。”
“這是微積分中很基本的導數計算，得出的結論也完美符合實際結果，無疑是正確的。”
“但是，發現裏麵的問題了嗎？”
阿基裏斯看看那個比無窮小更小的高階無窮小，再看看那個ds/dt的式子，明白了那個模糊不清的問題在哪裏了。
“0不能作為除數，所以dt不是等於0，同樣的，（dt）^2也不是0。”
“不是0，卻可以在等式的右側當做0直接略去，並且依舊得出完全相等的結果。”
李恒點點頭道：
“這就是牛頓和萊布尼茨的微積分中藏著的問題，無窮小量是一個極為奇怪的東西。”
“它可以作為除數，所以不是真的等於0，但它又必須像是0一樣滿足x+dx=x這樣的方程。”
“我說的對吧，貝克萊主教？”
阿基裏斯轉頭看向出現在兩人身旁的這個男人。
他的頭上戴著大大的黑色兜帽，穿著教會傳統的黑色裝束，表情嚴肅且認真，手中捧著厚厚的一堆傳單，上麵隱約可以看到“打倒牛頓霸權主義”、“推翻萊布尼茨暴政”的字樣。
這位教會的主教此刻看著麵前的兩人，緩緩地點了點頭，語氣讚賞地道：
“說的不錯，牛頓的流數術是先取Δs/Δt，這裏的Δt當然不可以為零，但緊接著又令Δt為零來求得瞬時速度。那麽這個Δt到底是不是零？”
“這些逐漸消失的增量是什麽？它們既不是有限量，更不是空無，或許我們應該把它們稱為消逝的幽靈更合適。”
“這些計算方法不過是隱晦的神秘物，它們是模糊和混亂的，是無理和荒謬的！”