“離散和連續，可數無窮和不可數無窮，康托爾的研究在無窮領域中點亮了一絲曙光。”
“從古希臘時代以來一直存在於混沌之中，被人類認為是模糊且不可理解的實無窮因此有了具體的模樣。”
“在數學領域中，康托爾的集合論與超窮數理論說是開天辟地也不為過。”
“其中最關鍵的一點就是，康托爾發現了無窮也是有不同的等級的。”
“既然有了第一個不同於可數無窮的無窮大，那麽後麵還有沒有第二個、第三個甚至是無限多個？”
“康托爾對於直線、平麵、立體的研究就是這個思想下的產物。”
李恒靠在那棵光禿禿的棗樹下，將手中的一片樹葉折疊成立體的形狀。
“更多的維度需要更多的坐標進行確定，二維空間中的點應該多於一維直線上的點，因而空間上的點組成的集合應是比不可數集更大的等級。”
“這一點在微積分的計算中表現得很明顯，一條無限長的直線與數軸圍成的麵積可以是一個有限值。”
“將一塊麵積有限的圓餅分割展開，能夠形成一條無限長度的鏈條。”
“在高維空間中是有限大小的物體，在低維空間中卻是無限大的，這似乎就是在說明，高維空間是更大的無窮大。”
“可惜，就像之前說過的那樣，康托爾反而證明了維度的數量對於連續空間中的點集大小毫無影響。”
“在無窮大的世界裏，人類直觀的幾何概念顯然是毫無作用的。”
“為了尋找更大的基數，康托爾以集合論為基礎重新出發，從每一個集合與自身子集之間的關係入手。”
一個集合{1，2，3}包含三個元素。
這個集合的非空子集為{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有7個。
最後再加上空集空集，總共有2^3個子集。
類似的，可以證明對包含n個元素的集合，其子集的數量是2^n個。
這一點對於空集也是成立的。
空集中的元素為0，但空集也是自身的子集，因此空集的所有子集數量為1，也就是非空集合{空集}。
這種方法正是後來以集合論為基礎生成自然數的方法。
空集，{空集}，{空集，{空集}}……這組序列就代表了自然數0，1，2……
利用空集作為一切的基礎，生成整個自然數序列。
“事實上，2這個數字在這裏有更豐富的意義。”
“為什麽是2，而不是3或者10？”
“本質上2這個數字代表了一種二元選擇——也就是判定是或否。”
“從一個集合包含的元素來構造其全體子集的過程，實際上就是一連串的判定過程。”
“集合中的每一個元素都隻有兩種可能，屬於這個集合，或者不屬於這個集合，沒有其他情況。”
“3個元素，每一個元素都有是、否兩種可能，總共就是8種可能性。”
“通過判定集合中的每一個元素是否屬於這個集合，可以構造出一個新的集合。”
“這個新集合包含的元素是原集合的全體子集，它被稱為冪集。”
“新的冪集顯然大於原來的集合，康托爾證明了即使集合是無窮的，它的冪集的基數也總是大於它。”
“這就是冪集公理。”
“利用冪集公理，就能構造出一個新的更大的無窮集合，也就是2^N0=N1”
“N0，N1，N2，……直到阿列夫無限。”
“這裏的無限用的是超窮序數ω，也就是從最初的N0開始，經過無限次冪集構造後得到的集合。”
“這一係列的數字就是所謂的阿列夫數。”
“在這之後，還可以利用構造冪集的方式繼續創造更大的集合，比如類似於超窮序數中ε不動點的阿列夫不動點，滿足α=Nα。”
“每一個超窮序數下標代表的是冪集構造的次數，是在無窮大領域的跳躍。”
手中綠色的樹葉上流動的白色文字停留在了阿列夫不動點那裏，李恒將這些文字全部抹去，接著道：
“這些屬於擴展閱讀的部分，回到連續統的問題。”
“自然數集的冪集的基數為N1，康托爾接下來又證明了這個集合無法與自然數集合之間形成一一對應。”
“也就是說，N1同樣是不可數無窮。”
“證明自然數集的冪集不可數的對角線法證明與全體實數不可數的證明非常的相似。”
“現在，自然數的冪集和所有實數的基數都大於N0，一個很自然的想法就是，自然數的冪集基數是否和全體實數一樣。”
“連續統的基數C=N1？”
“這就是康托爾的集合論中最深刻的問題之一，在這個問題上遇到的困難也是導致他嚴重精神問題的重要原因。”
李恒輕輕彈了彈食指，將手中寫滿了白色粉筆字的綠葉扔了出去，這片綠葉在下一刻就覆蓋了整間精神病。
在阿基裏斯的視角中，這片葉子在同一時刻出現在了天地間的所有地方，上麵演化著這個無窮小的無理數世界所有的可能性。
她在上麵看到了無窮無盡的太陽，每一個太陽裏都有牛頓和萊布尼茨。
樹葉上也顯照出無數個精神病院，裏麵有的棗樹是光禿禿的，有的則依舊掛滿了鮮紅的紅棗，不變的是那個白發蒼蒼眼神呆滯的躺平老頭。
無論是哪一間精神病院，那裏都有兩個闖入此間，外貌形同雙胞胎的小孩。
占盡未來，一切可能發生的都同時發生了，這些樹葉上映照出的每一個世界都是與這裏一樣真實的存在。
那些是在不同世界中的阿基裏斯，以及在她們身邊的同一個李恒。
漫天綠葉消失不見，李恒將葉片收回掌心，指尖摩挲著上麵的紋路道：
“在直覺上，這個結果似乎是很顯然的。”
“康托爾用有理數序列表示實數的方法與戴德金分割得到的連續實數軸是等價的。”
“用二進製無限小數的形式來表示，一個無限長的數字序列，每一個位置上都有0和1兩種可能。”
“一個無限大的宇宙，其所有可能的狀態就是2^N0，占盡一個無限宇宙的所有可能性，就能跳躍到更高層次的無窮大。”
這種方式聽起來就太簡單了。
從有限到無限是一次占盡未來，從可數無限到不可數無限是第二次占盡未來。
雖然都叫做占盡未來，兩者的難度卻是全然不同的。
構造冪集雖然是無限領域的升級方式，但它遠比從有限抵達可數無限要簡單。
可數無限雖然是最小的無限，但對於有限的凡人具有不可達的性質，隻有用無窮公理保證它的真實性。
實無限顯然是真實存在的，但如何從有限抵達它？
不知道，沒有任何辦法。
別說隻是區區冪指數，就算定義一堆超運算、超超運算法則也沒有半點用。
無限以下的任何運算都影響不到它，隻能用一個不證自明的無窮公理來解決。
但從可數無限到不可數無限之間卻存在著明確的法則，隻需要用冪集運算就能跳過這一個層次。
如果這個世界的量子比特無限複製的方式遵循冪集運算的規則，那麽情況就變得很可怕了。
每一個時刻的流逝都是宇宙的一次複製，每一次複製都誕生了一個無限宇宙的所有可能性——也就是創造了一個冪集，從N0跳到了N1。
如果真是這樣，李恒最初所在的世界就不是對應著整數世界的最小不動點ε0，而是直接跳到阿列夫不動點去了。
冪集公理的規則下，僅僅隻是一次跳躍，就能超過那些花裏胡哨的所謂無盡次元世界、量子比特海洋，抵達更高層次的無窮大。
在無限領域，因為超窮基數相對於超窮序數更簡單的特性，讓那一大堆複雜的力量層次看起來沒什麽用。
李恒看向棗樹底部那個眼神茫然的躺平老頭道：
“連續統問題涉及序數和序型。”
“真正讓康托爾感到困擾的，正是在研究更複雜的超窮序數理論時遇到的難題。”
“比起義務教育漏網之魚也能理解的一一對應和對角線證明，超窮序數的研究就太過專業和複雜了。”
我不是義務教育漏網之魚，現在我好歹也有21世紀地球人的平均水平。
阿基裏斯在心中低聲反駁。
她吃掉了營養是中子星32億倍的莎布尼古拉斯，又吃掉了康托爾親手種的紅棗，現在已經不是最初那個什麽都不懂，隻會算一百以內加減法的小呆瓜。
能理解一些微積分和集合論的基礎問題，她應該差不多能達到21世紀地球人的平均知識水平。
就是有一點偏科，腦袋裏沒多少實用的生活常識。
不過這也沒關係，反正有大善人請她免費吃飯，這日子過得比貧民窟裏可舒坦多了。
知識就是食物，這不是虛指，而是真的能填飽肚子的。
“嗯……的確不算是小呆瓜。”
李恒看了看阿基裏斯那對少了幾分清澈愚蠢的粉色眼眸，滿意地點點頭。
如果是之前那個小笨蛋，知道了用冪集公理生成更大的無窮集合的規則，大概就不把連續統問題當回事了。
能明白連續統問題是很困難的難題，這就是很大的進步了，比她那兩個隨意使用“芝諾的龜”的蠢蛋父母聰明。
“簡單來說，康托爾證明了一個可數無窮集N0的所有可能序型的集合是不可數的。”
“這就意味著，還有另外一種截然不同的方法生成無窮集合的無窮等級。”
“將可數無窮集所有可能序型的集合稱為Z，能夠得到以下幾個結果。”
“C是所有實數的集合，不可數無窮。
N1是N0的冪集，不可數無窮。
Z是N0的所有序型的集合，不可數無窮。”
“C=N1？N1=Z？”
“遠比超窮基數更複雜的超窮序數卷入了其中，將這個問題變得困難起來。”
“康托爾想要證明的是，不可數無窮集合Z的基數等於N1，這樣就可以證明在N0和C之間不存在中間的集合。”
“這個問題被稱為連續統假設。”
“既然被稱作是假設，當然就沒有被證明了。”
李恒蹲下身體，伸手戳了戳那個躺平的白發老頭。
“康托爾後半生的痛苦與他和那些反對者的戰鬥有關，比如之前提起過的克羅內克。”
“他是一個聰明的天才，但卻不是一個頑強的鬥士。”
“除了來自外部的攻擊，他後半生痛苦的最大來源就是無法證明的連續統假設。”
“康托爾認為這個問題是他一生最大的失敗。”
最大的失敗啊……
阿基裏斯學著李恒的模樣蹲在棗樹旁，低頭盯著那個眼神呆滯的躺平老頭。
創造了集合論和超窮數理論，取得了開天辟地般的成就，卻依舊把自己無法解決的問題看做是人生中最大的失敗。
聰明的天才也未必就過得比蠢笨的小呆瓜幸福，至少她那對沒心沒肺的父母就過得比這個住進精神病院的可憐老頭好多了。
活著的時候沒有體會到幸福，死後才被世人奉為偉人，對於在痛苦中死去的本人又有什麽意義呢。
“天才也有天才的苦惱啊。”
阿基裏斯輕聲一歎。
因為是天才，所以對自己的要求自然也是和普通人不一樣的。
她以前對自己的要求隻有吃飽穿暖就夠了，這就已經足夠幸福。
但隨著自身處境的變化，也漸漸的開始渴求更多的東西。
每個人對自己的期待都是不一樣的，聰明人也依舊是人，有著無法解決的問題。
“做個躺平老頭，每天曬曬太陽，閑來吃兩顆紅棗，不也挺好的麽？”
李恒對著地上的躺平老頭道。
一直保持著眼神呆滯狀態的白發老頭這時終於有了些許反應，他動了動眼珠子，目光聚焦在那顆光禿禿的棗樹上。
“額，他種的紅棗都被我們兩個給吃光了。”
阿基裏斯看著老頭的目光有些不太好意思，這棵棗樹可不是別人扔在垃圾桶裏不要的剩菜剩飯。
“不用覺得不好意思，世界上的一切都是我創造的，這老頭和他種的紅棗也一樣。”
“再見，躺平老頭。”
李恒從地上直起身來，那棵光禿禿的棗樹也在這時又一次長滿了紅棗。
“康托爾的故事到此為止，但有關於連續統的問題還遠遠沒有結束。”
“下一個想要解答這個問題的人是希爾伯特，連續統問題就是著名的希爾伯特第一問。”
時空變換，精神病院消失不見，取而代之的是一條清澈的小河，河邊的草地上佇立著一塊墓碑。
“墓碑？”
阿基裏斯看著墓碑上的黑白照片，心中略微有些無語。
畢達哥拉斯在追尋無窮之路上變成了一隻怪物，康托爾成了精神病院裏的躺平老頭。
希爾伯特更慘，隻剩下了一塊墓碑和一張黑白照片，墓穴裏空空****什麽都沒有。
“嗯，墓碑。”
李恒走到墓碑前，將手中那片從康托爾的棗樹上取下的綠葉放到墓碑前。
阿基裏斯微微眯起眼睛，她發現綠葉上寫著兩句新的文字。
『我們必須知道，我們必將知道。』
這是希爾伯特的名言，以此作為對那些信奉不可知論之人的反擊。
他認為每一個確定的數學問題必定能得到一個準確的回答：
或者給所提問題以實際的肯定答案；或者證明問題是不可能的，因此所有企圖證明它成立的努力必然失敗。
所有的數學問題或者為真，或者為假，不存在其他情況。
李恒看向阿基裏斯肩膀上寫著“排中律”字樣的便簽。
“在數學中有兩種證明，一種叫做構造性證明，它會給出具體的例證。”
“另一種則叫做非構造性證明，或者稱作存在性證明，它所使用的規則就是排中律。”
“希爾伯特就是非構造性證明的大師。”
“利用排中律和反證法，即使並不知道具體的對象到底是什麽，也能證明它存在。”
“連續統問題的本質就與排中律有關。”
“戴德金分割用有理數分割定義實數，並沒有給定一些得以構造出集合A和B的數學規則。”
“『如果數軸可以劃分為A和B』，卻沒有給出任何可以實際構造出這些集合的方法或程序。”
“無論如何，這些集合實際上是不可構造或驗證的。”
“不僅如此，康托爾證明實數集C、自然數集的冪集N1等等集合是不可數無窮時使用的也是反證法，依賴於排中律。”
阿基裏斯從那寫著“我們必須知道，我們必將知道”的葉片上收回目光，看向自己肩膀上貼著的便簽。
“排中律有問題？”
在不可數無窮上遇到的困難似乎就是源於排中律。
一個數學命題為真，或者為假，這應該是理所當然的。
“沒錯，排中律就是第三次數學危機的源頭。”
“更深入的說，是排中律隱藏著的人類最基礎的邏輯問題。”
李恒抬手敲了敲墓碑上的黑白照片道：
“說謊者悖論、上帝全能悖論、理發師悖論等等。”
“這些悖論的本質都是自我指涉問題。”
“『我說的這句話是謊話』，這句話是真是假？”
如果說的是真話，這句話就是謊話。
如果說的是謊話，那麽這句話就是真話。
這個古老的邏輯悖論就是第三次數學危機的根源。
它在康托爾的樸素集合論中被放大，成為了一個必須解決的問題。