“非標準分析的世界比標準分析的世界還要複雜很多。”
“雖然統一稱作非標準分析，但它們其實指的是一類不同於標準集合論公理的數學係統。”
“有一些隻是普通集合論公理的保守擴張，雖然引入了無限大數和無限小數，但裏麵的結論可以轉換到標準分析的數學體係裏。”
“另外一些則比常規集合論公理描述的世界更大。”
“不隻是在原來的基礎上增加一些超實數這麽簡單，數的基本定義都會發生改變。”
“總之，就像是之前一樣，還是從最基礎的部分開始。”
李恒伸手拿過阿基裏斯胸前掛著的粉白色螺旋鑰匙，將它的尖端對準了那條白色的數軸。
在阿基裏斯略有疑惑的目光中，他口中像是念咒語一樣低聲道：
“升級，二星芝諾機。”
緊接著這枚粉白色的螺旋狀鑰匙表麵就多了一絲紅色的紋路，表明這台超圖靈機與之前的不同。
“好了，我現在已經給它賦予了不可數無限的力量，你可以用它來切開實數之間的縫隙了。”
喂，這也太簡單了吧，你這是在玩什麽卡牌遊戲嘛！
阿基裏斯心中一陣吐槽。
明明在之前的旅途中把不可數無限的種種性質描述得那麽可怕。
證明了實數的主要構成部分是無法用有限的字符準確定義的不可定義數，它們對於有限的凡人是不可知不可論的存在。
結果現在隨便一句話就弄出了一台升級版的二星芝諾機，一下子就把不可數無限變得沒什麽逼格了。
“『在數學中你並沒有理解什麽東西，你隻是習慣了它們而已。』”
“這個世界上沒有宗教意義上的唯一神，也沒有絕對正確的真理，更沒有什麽至高無上的無敵境界。”
“你現在所知的宏偉事物，在更廣闊的世界裏也隻是一絲微不足道的塵埃。”
李恒抬起手掌，在這片混沌不可知的世界中輕點食指。
阿基裏斯發現，在這一刻一切都消失了。
她的眼中不再有奇怪的分數維空間，不再有混亂跳躍的線條。
這個容納著實數，比之前的世界更隨機、更未知的不可知世界，不再給她帶來那種超出理性邊界的混沌感覺。
世界安靜到了極點，仿佛回到了她的意識誕生之前，又或者是去到了她死後意識消失的世界。
純粹的黑暗，純粹的虛無。
李恒把這個實數世界裏的所有信息都一鍵清空了。
對於現在的他，將一個體量達到不可數無限等級的世界毀滅歸墟，並不會比踩死一隻螞蟻更困難。
“接下來我們會觸及到這個世界最本質的力量。”
“它們是比空間和時間更基礎，甚至比起那些由純粹的信息構成的數都更為基本的存在。”
“它們是宇宙萬物的起點，是先於一切存在而誕生的最初的因。”
“它們就是那些我們無法去探究原因、無法去理解，隻能去習慣的東西。”
“它們是不證自明的公理，是構成一個廣闊無垠的集合論宇宙的基礎規則。”
“你在這個世界裏有可能認知的一切事物，都在這些公理規則構建的集合論宇宙之內。”
“從某種意義上來說，你看到的這些不證自明的公理就是我的身體。”
李恒看著自己探出的手掌，笑了笑道：
“這並不困難，我剛剛升級那台芝諾機所使用的就是冪集公理，從一個N0的集合中，無中生有地創造了一個N1的集合。”
一生萬物、萬物歸一者，無所不知、無處不在，這些概念雖然說起來很厲害，但都顯得有些虛而不實。
超越光速的4階黑洞生命體就能做到無處不在，化作一方容納億億萬萬可觀測宇宙的龐大宇宙，體內容納無數文明眾生。
給這種黑洞生命體掛上這些厲害的名號也不會有什麽突兀之處。
但是，這些有限的生命體使用的力量依舊算不上是自己的，隻是來自於棲身的無限宇宙微不足道的一絲力量罷了。
黑洞生命體那無窮無盡的能量是來自於真空本身的能量。
這種能量是宇宙永恒暴脹的殘餘。
宇宙的永恒暴脹又源於量子比特的無盡複製。
量子比特的無盡複製就源自構成世界的公理規則。
隻有到了無限領域，才能掌握一個足夠大，大到至少能容納全體自然數集合的公理係統。
從而掌握無中生有的力量，真正做到自給自足，不假外物。
“這個世界上存在的一切事物都源於無中生有的力量，這份力量就源於構成這個世界最基礎的公理。”
“回憶一下之前我們研究自然數時我跟你提到的概念，在集合論中是如何定義自然數的？”
阿基裏斯回憶著之前提到過的集合論中對自然數的基本定義，感受著這片虛無的世界道：
“空集？”
空集，一個什麽元素都沒有的集合。
最初出現空集的概念是為了應付兩個不相交集合的交集的情況。
例如全體奇數的集合和全體偶數的集合，就是兩個沒有交集的集合。
但空集卻與“無是完全不存在的”這種不可思議的、哲學上的無的概念相當不同。
空集是有意義的。
不包含任何元素的空集也是一種存在，是集合論中最小的集合。
虛無也是一種存在，就像現在兩人所在的這個比真空還要更為空無，被清空了一切信息的世界。
“空集沒有元素，所以定義數0為空集空集。”
“接著，定義數1是含有以空集作為一個元素的集合{空集}。”
“它同空集不一樣，空集是沒有元素的集合，而{空集}是含有一個元素的集合。”
有了最初的0和1，後續的一切就很簡單了，就像數數一樣無限+1即可。
以此方法無限重複下去，自然數集合中的每一個元素都可以用像俄羅斯套娃一樣的嵌套集合來代替，一切都隻涉及到空集的概念。
如此就從空無一物的虛無開始，創造出了一個無限的存在。
“咦？”
阿基裏斯突然輕咦一聲。
她僅僅隻是在腦海裏思考這條規則，這片空無一物的虛無世界就變了模樣。
存在從虛無中誕生了。
白色的光芒以她為中心，向著周圍的世界無窮無盡地湧現，創造出一個純淨無暇如同天堂的世界。
這一幕簡直就像是聖經中上帝創造世界時的景象。
李恒輕輕拍了兩下手掌道：
“很好，現在你已經學會了創造自然數集合的規則，掌握了無中生有的力量。”
就這麽簡單？
阿基裏斯望著這片自己創造的純白無暇的世界，有些不太自信地問道：
“我怎麽覺得……這種創造世界的方法一點都不唯物呢？”
這也太唯心了吧，簡直就像是宗教神話一樣。
“的確如此。”
李恒讚同地說道：
“一開始我以為自己的力量來自於信息場，我使用的力量類似於真空零點能，這個超級信息網絡就像是量子比特海洋的升級版。”
“後來我才發現，這種無中生有的力量是我的身體所自帶的。”
“這種力量來自於我身體內容納的公理規則，以這些公理為基礎誕生的龐大世界反而是細枝末節。”
“總之，這些公理的力量就像是普通人麵對著永恒暴脹一樣，我們能做的隻是習慣它們的存在。”
好吧，那就先用著再說。
阿基裏斯也不尋根究底。
原始人不明白自己大腦中的億萬細胞是如何能夠正常運轉的，但這並不妨礙它們用這顆大腦的力量去打獵和尋找食物。
“但是，以上這種方法隻是在自然數集合範圍內的定義。”
“我們現在不僅要從空集開始定義自然數、有理數、實數，還要用它定義包括無限大數和無限小數在內的超實數。”
“想要定義如此繁雜豐富，數量比N1還要多得多的數，僅僅使用這種舊的公理規則是不夠的。”
“發現了嗎，我們的研究直接從實數跳到了超實數，卻沒有去談論虛數和複數。”
“這是因為複數域不是有序域。”
複數，四元數，這些數都是對實數的擴充。
但這些數與實數有本質區別，它們不能比較大小。
聯係幾何的概念，複數是存在與複平麵上的數。
四元數又被稱為超複數，是存在於空間中的數。
平麵和空間的情況顯然與直線不同，代表著點的數與數之間沒有單純的“左”和“右”的關係。
因此這些數也不能像是分布在數軸上的數那樣，進行大小比較。
類似於有理數域、實數域和超實數域這樣可以比較大小的數域，就稱作有序域。
這種有序性顯然與數在數軸上分布的左右關係是一樣的。
“有序性，是戴德金分割？”
阿基裏斯反應了過來。
數軸上分布的數具備有序性，彼此之間可以比較大小。
因此就可以使用分割數軸的方式，用兩個左右互斥的集合來準確定義一個數。
這種定義方式與生成自然數的規則是不同的，它一開始就至少要用到兩個集合。
在舊的規則中，定義自然數最初的0卻僅僅隻需要用到一個空集。
從最初誕生的基礎規則開始就不同，用這種全新的方式定義的數恐怕與普通的數也完全不是一回事。
“沒錯，用兩個互斥的左集和右集來定義一個數。”
李恒舉起手中的那台二星芝諾機，將它那看不到具體大小的尖端對準白色的數軸。
阿基裏斯耳邊有清脆的破裂聲響起，看似無缺無漏的實數之間被破開了一道縫隙，超越實數的世界被找到了。
純白無暇的世界消失不見，這個隱藏在實無窮小區域中的新世界既不是虛無的黑暗，也不是不可知的混沌。
這裏是一片普通的海灘，海灘邊埋著一塊黑色的大石頭，露出來的半截上麵刻著一段像是塗鴉一樣的雕文。
“公理石碑？”
阿基裏斯微眯著眼睛看向那塊黑色大石頭。
名字起的倒是高大上，但看起來就是一塊黑漆漆的大石頭，跟石碑這個詞完全搭不上邊。
『初，萬物混沌蒼茫，爾後康威始創諸數。』
『創生二道，大小諸數蓋由此出。
其一曰：凡數，皆合於前創二數之集，其位左者，無一大於或等於其位右者。
其二曰：甲數小於或等於乙數，當且僅當甲數之左集中無一大於或等於乙數，且乙數之右集中無一小於或等於甲數。』
『康威檢視二道，連呼妙哉！此二道真妙絕！』
這兩條規則並不難理解，第一條規則就是描述了數軸的有序性。
第二條規則就是戴德金分割的基本思想，用數軸上左右互斥的兩個集合和來定義一個數。
每一個數本質上都是一對數集，並且這些數集中的每一個數本身也是一對數集。
“康威？”
阿基裏斯低聲念著這個名字。
兩人之前在討論大數的時候提到過這個名字，用於表示大數的高德納箭頭和康威鏈式箭號。
這人應該就是那個康威。
她繼續向下看去。
『元初之數，左右皆空，康威名之曰“零”，命其為正負兩界分野之符。』
『康威證得零小於或等於零，此間妙也。夜去晝來，是為零日。』
『次日又得二數，其一以零為左集，其一以零為右集，前者曰“一”，後者曰“負一”……』
這就是用前麵提到的兩條規則來定義數了。
知道了戴德金分割的基本思想，這種全新的規則阿基裏斯看過一遍就明白了。
每一個數本質上都是一對數集。
但最初沒有任何的數，唯一存在的東西就是虛無，也就是空集。
所以最初的數左右兩側都是空集，這個數就是0。
寫成符號形式就是，0=（空集丨空集）。
左右皆空，空集不包含任何元素，空集與空集之間自然也就沒有交集。
並且，因為不包含任何元素，所以空集是任意一個集合的子集。
這就意味著空集可以被隨意地放在左側或者右側。
無論另一邊的集合中是包含一個還是無窮多個元素，空集都一定滿足這兩條規則。
空集的這種性質還真是好用，集合論裏的空集果然和哲學意義上一切皆無的概念完全不一樣。
1=（｛0｝丨空集）
2=（｛0，1｝丨空集）
-1=（空集丨｛0｝）
-2=（空集丨｛-1，0｝）
以此類推，便可創造出一切整數。
“不，或許這些符號還可以更簡單一些。”
阿基裏斯突然又搖了搖頭。
比較數軸上左右兩個互斥集合，不需要比較集合中的每一個元素，隻需要比較左集中的最大元素和右集中的最小元素。
這樣的話，2=（｛0，1｝丨空集）也可以寫成2=（｛1｝丨空集）。
每一個新的數都在舊數的邊界之處創造。