三角級數、傅裏葉級數
對於所有在以2pi為周期的函數f(x)，可以用一組如下的三角函數係將其展開：
1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……
顯然，這組基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期區間求積分獲得函數f(x)在以三角函數係為基的展開係數，或者說以三角函數係為坐標的投影值a0,an,bn……
一個一般的函數f(x)可以表示為奇函數和偶函數的疊加，因此它的展開既含有正弦項又含有餘弦項，但偶函數的展開僅含有常數項a0和正弦項，相似的，奇函數展開僅含有餘弦項。
傅裏葉級數的複數形式
根據歐拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、餘弦項可以用複指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一個周期函數f(x)既可以在三角函數係上表出也可以在複指數係1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐標係之間，存在映射關係。但重要的是，由於積分變換的核函數形式發生改變，其物理意義也將有所變化。由於複數的引入，每一個複指數e^jnx相對於三角函數係都變為一個二維量，其物理含義是一條三維螺旋線。其道理非常簡單，一個實參a表示數軸上的一點，而一個複數a+bj表示二維坐標上的一點，所以cosx，sinx分別表示
一條二維曲線，而e^jx=cosx+jsinx是一條空間三維曲線。
傅裏葉變換
周期信號用傅裏葉級數表示,非周期信號可以借助傅裏葉變換進行.
對實信號做傅立葉變換時，如果按指數e^jωt為核來求，我們將得到雙邊頻譜。以角頻率為Ω的餘弦信號為例，它有具有位於±Ω兩處的，幅度各為0.5，相角為零的頻率特性。實際上，COSΩt就是e^jΩt與e^j-Ωt兩條螺旋線的疊加，他們虛部剛好對消，隻剩下實部。
Ω1與Ω2兩個角速度的螺旋線坐標值的疊加並不等於角速度Ω1+Ω2，因為從角速度到螺旋線的映射不是線性關係。這一現象正體現了頻率的正交特性,也是頻率分析理論存在的基礎.
經過傅立葉變換得到的負頻率表示一條反向旋轉的螺旋線,而複頻率表示一條整體改變90度相位的螺旋線，它們分別與正頻率,實頻相對應,都表示一個特定的螺旋線，並沒有玄妙的含義。
連續頻譜
周期信號用傅裏葉級數展開所獲得頻率線狀譜的物理意義十分明確,即整個信號由所有譜線存在處頻率分量疊加而成.比如信號COSΩt對應Ω與-Ω處兩根譜線.
困難的問題是對連續譜的理解.以下為標準的傅裏葉變換對:
由於存在關係式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再聯想一個信號在三角函數係上的展開,可以認為上述傅裏葉變換的意義是得到信號x(t)實部的cos-wt係數以及x(t)虛部的sin-wt係數.又由於cos的偶函數性質,sin的奇函數性質以及j*j=-1這一定義,對於某一個特定的w',出現在變換式左邊的將是x(t)實部的cosw't係數以及x(t)虛部的sinw't係數,兩者的加和顯然可以用e^jwt的係數表示.
假如直接以幾何意義來思考,為什麽傅裏葉變換式兩端正負號不一致,也很有趣.回到三角函數展開,在周期[-pi,pi]上,隻有coswx與coswx的乘積不為零,這也是正交性.而在三維空間中,一條螺旋線與它自身的乘積再做積分卻是零,非要與它每一點的共軛值相乘才不為零.造成這種形式不統一的根源,可以認為一維是一種特例,而二維是較普遍的表達,也可以認為實數的共軛是它本身,而複數共軛虛部相反.
連續頻譜意義
現在來看連續譜線的含義,它與概率密度函數一樣,隻有相對的意義,也就是說,在頻譜上高度相同的兩點,隻表示這兩點含對應頻率給信號的貢獻相同,而無法得出任一頻率分量本身的能量.這與概率密度函數是相同的,任何一點的概率取值都是零,但概率密度函數曲線相同高度處代表可能性相同.出現這一問題的根源可能是微積分,或者說是"極限"帶來的困繞,因為物理世界中,時間,能量,都有最小量值,不可再分.那麽,我們可以僅僅把微積分看作隻是一種數學處理,對微小離散累加的近似.因此連續譜線可以理解成相當多,相當細密離散譜線束的近似,但每一根離散譜線的高度值並非其對信號的貢獻,僅僅表示一個相對的意義.依然可以借助概率密度函數的意義來理解,離散分布律對應的概率線,線有多高,隨機變量取值就有多大可能性,在連續概率密度函數中,假如化為微小離散的分布律線,將不再是原來的高度,而應該用該值微笑領域內與原連續曲線所圍麵積來替代其高度,這一理解與從頻譜回到信號的傅裏葉變反換是吻合的.
為了便於理解,我們重新敘述整個問題:1,對於周期信號,由於其由多個三角函數線性疊加而成,而三角函數本身又具有正交性,那麽通過如下的運算:
即任何基函數與原信號相乘後做區間積分,就可以得到任意特定基函數在區間平方後曲線所圍麵積與該基在原信號中加權係數之積.顯然,要把基函數平方曲線所圍麵積的值去除,才能得到係數淨值.因此,在上述式子前,要除以一個pi,也就是去掉了所圍麵積.
2,那麽,對於非周期信號,首先我們可以視其為一個周期極長的信號,而且這個信號隻在周期中的一部分有非零值,當然,這個信號隻有部分非零並不影響所有的操作和理解.在周期信號的展開中,所有可能包含的基函數為其周期的分數也即這些基函數頻率是原信號頻率的倍數.比如一個2Hz的周期信號,他包含的基函數隻可能是偶數Hz的三角函數.因此,我們假設一個信號的周期特別長,也即頻率特別低,會導致什麽呢?當周期長到趨近於極限,頻率也同時低到趨近於極限,結合時間量子的概念,可以認為這個極端是原子頻率,即一個最小的頻率.那麽,對這個非周期信號展開時,所有頻率都有可能對其有貢獻,因為原信號的頻率低到了一個原子頻率.於是,對一個非周期,或者說是一個周期無限長信號展開時,我們必須考慮所有可能的頻率分量,實際上,這些微間隙量子化的頻率值並不連續,但是由於它們非常細蜜,可以用人類思維理念中虛擬出來的"連續"這一概念來近似.可以想到的是,由於頻率分量足夠多,每一分量的權值係數將非常小,實際上,對比周期信號的展開式,我們發現,在傅裏葉積分式前,並沒有去除基函數平方在周期內所圍的麵積值,因此,用連續近似繁多離散的頻譜起伏曲線隻有相對的意義.