1. 對微積分學和代數學介紹
微積分學的簡介
極限思想
極限的思想方法可追溯到古代，3世紀，中國數學家劉徽創立的割圓術用圓內接正九十六邊形的麵積近似代替圓麵積，求出圓周率π的近似值3.141024，並指出："割之彌細，所失彌少 ，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣"。劉徽對麵積的深刻認識和他的割圓術方法，正是極限思想的具體體現 。數列極限是函數極限的基礎， 一個數列an如果當n無限增大時，an與某一實數無限接近，就稱之為收斂數列，a為數列的極限，記作例如，數列的極限為0。
微分學
微分學的基本概念是導數。導數是從速度問題和切線問題抽象出來的數學概念。牛頓從蘋果下落時越落越快的現象受到啟發，希望用數學工具來刻畫這一事實。若用s＝s(t)表示物體的運動規律，即物體運動中所走路程s與時間t的關係，那麽物體在t＝t0時的瞬時速度為v(t0)=
，並記v(t0)＝s′（t0），並稱之為路程s關於時間t的導數或變化率 ，也可記v(t0)＝()｜t=t0。而物體運動的加速度 a(t)＝v′(t)＝s″（t）＝()。導數作為一個數學工具無論在理論上還是實際應用中，都起著基礎而重要的作用。例如在求極大、極小值問題中的應用。
積分學
積分學的基本概念是一元函數的不定積分和定積分。主要內容包括積分的性質、計算，以及在理論和實際中的應用。不定積分概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的。如果對每一x∈I ，有f(x)＝F′（x），則稱F(x)為f(x)的一個原函數，f(x)的全體原函數叫做不定積分，記為，因此，如果F(x)是 f(x)的一個原函數，則＝F(x)＋C，其中C為任意常數。定積分概念的產生來源於計算平麵上曲邊形的麵積和物理學中諸如求變力所作的功等物理量的問題。解決這些問題的基本思想是用有限代替無限；基本方法是在對定義域[a，b]進行劃分後，構造一個特殊形式的和式，它的極限就是所要求的量。具體地說，設f(x)為定義在[a，b]上的函數，任意分劃區間[a，b]:a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，記，｜｜Δ｜｜＝ ，任取 xi ∈Δxi，如果有一實數I，有下式成立 ： ，則稱I為f(x)在[a，b]上的定積分，記為I＝f(x)dx。當f(x)≥0時，定積分的幾何意義是表示由x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所圍曲邊形的麵積。定積分除了可求平麵圖形的麵積外，在物理方麵的應用主要有解微分方程的初值問題和"微元求和"。
聯係微分學和積分學的基本公式是：若f(x)在[a，b]上連續，F(x)是f(x)的原函數，則f(x)dx＝F(b)－F(a)。通常稱之為牛頓-萊布尼茲公式。因此，計算定積分實際上就是求原函數，也即求不定積分。但即使f(x)為初等函數，計算不定積分的問題也不能完全得到解決，所以要考慮定積分的近似計算，常用的方法有梯形法和拋物線法。
微積分學是微分學和積分學的總稱。
客觀價值
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數學中引入了變量的概念後，就有可能把運動現象用數學來加以描述了。
由於函數概念的產生和運用的加深，也由於科學技術發展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之後產生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數學發展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何後，全部數學中的最大的一個創造。
微積分學的建立
古代
從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經產生了。
公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的麵積、球和球冠麵積、螺線下麵積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的"天下篇"中，記有"一尺之棰，日取其半，萬世不竭"。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到"割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣。"這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。
十七世紀
到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的麵積、曲麵圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。
十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦裏士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。
牛頓
十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度裏獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這隻是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯係在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。
牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書裏指出，變量是由點、線、麵的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。
萊布尼茲
德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是曆史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。
微積分學的創立爭議
微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。
前麵已經提到，一門科學的創立決不是某一個人的業績，他必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。
不幸的事，由於人們在欣賞微積分的宏偉功效之餘，在提出誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期裏閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的"流數術"中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。
其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間裏先後完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由於民族偏見，關於發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。
應該指出，這是和曆史上任何一項重大理論的完成都要經曆一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方麵的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。
發展
直到１９世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。
任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的曆史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布o貝努利和他的兄弟約翰o貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西……
歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變量數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不隻是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地裏，建立了數不清的豐功偉績。
微積分的基本內容
研究函數，從量的方麵研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數學分析。
本來從廣義上說，數學分析包括微積分、函數論等許多分支學科，但是現在一般已習慣於把數學分析和微積分等同起來，數學分析成了微積分的同義詞，一提數學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。
微分學的主要內容包括：極限理論，導數，微分，偏微分等。
積分學的主要內容包括：定積分，不定積分，黎曼積分，曲線曲麵積分等。
微積分是與應用聯係著發展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。此後，微積分學極大的推動了數學的發展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發展。並在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現更有助於這些應用的不斷發展。
中國古代數學中微積分的萌芽
微積分的產生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關係 。最後一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數學家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。對於這方麵的工作，古代中國毫不遜色於西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數學不能比擬的。
極限思想
公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀《墨經》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創的割圓術求圓麵積和方錐體積，求得 圓周率約等於3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現。
微積分思想
微積分思想雖然可追溯古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產生和發展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓台、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的《夢溪筆談》獨創了"隙積術"、"會圓術"和"棋局都數術"開創了對高階等差級數求和的研究。
南宋大數學家秦九韶於1274年撰寫了劃時代巨著《數書九章》十八卷，創舉世聞名的"大衍求一術"--增乘開方法解任意次數字（高次）方程近似解，比西方早500多年。
特別是13世紀40年代到14世紀初，在主要領域都達到了中國古代數學的高峰，出現了現通稱賈憲三角形的"開方作法本源圖"和增乘開方法、"正負開方術"、"大衍求一術"、"大衍總數術"（一次同餘式組解法）、"垛積術"（高階等差級數求和）、"招差術"（高次差內差法）、"天元術"（數字高次方程一般解法）、"四元術"（四元高次方程組解法）、勾股數學、弧矢割圓術、組合數學、計算技術改革和珠算等都是在世界數學史上有重要地位的傑出成果，中國古代數學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創立的關鍵。 中國已具備了17世紀發明微積分前夕的全部內在條件，已經接近了微積分的大門。可惜中國元朝以後，八股取士製造成了學術上的大倒退，封建統治的文化專製和盲目排外致使包括數學在內的科學日漸衰落，在微積分創立的最關鍵一步落伍了。