1. 對三角函數介紹
定義
直角三角定義
它有六種基本函數(初等基本表示)：
三角函數數值表
（斜邊為r，對邊為y，鄰邊為x。）
在平麵直角坐標係xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為θ，設OP=r，P點的坐標為（x，y）有
正弦函數 sinθ=y/r 正弦（sin）:角α的對邊 比 斜邊
餘弦函數 cosθ=x/r 餘弦（cos）:角α的鄰邊 比 斜邊
正切函數 tanθ=y/x 正切（tan）:角α的對邊 比 鄰邊
餘切函數 cotθ=x/y 餘切（cot）:角α的鄰邊 比 對邊
正割函數 secθ=r/x 正割（sec）:角α的斜邊 比 鄰邊
餘割函數 cscθ=r/y 餘割（csc）:角α的斜邊 比 對邊
以及兩個不常用，已趨於被淘汰的函數：
正矢函數 versinθ =1-cosθ
餘矢函數 coversθ =1-sinθ
sinα、cosα、tanα的定義域：
sinα定義域無窮，值域 [-1，1]
cosα定義域無窮，值域 [-1，1]
tanα的定義域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k屬於整數，值域無窮
單位圓定義
六個三角函數也可以依據半徑為1中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴於直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不隻是對於在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個圖像，把所有重要的三角函數都包含了。根據勾股定理，單位圓的等式是： x²+y² = 1
圖像中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角 θ，並與單位圓相交。這個交點的 x 和 y 坐標分別等於 cos θ 和 sin θ。圖像中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊且長度為1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等於 1的一種查看無限個三角形的方式。
對於大於 2π 或小於等於2π 的角度，可直接繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦和餘弦變成了周期為 2π的周期函數：
對於任何角度 θ 和任何整數 k。
周期函數的最小正周期叫做這個函數的"基本周期"（primitive period）。正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是全圓，也就是 2π 弧度或 360 度；正切或餘切的基本周期是半圓，也就是 π 弧度或 180 度。上麵隻有正弦和餘弦是直接使用單位圓定義的，其他四個三角函數可以定義為：在正切函數的圖像中，在角 kπ 附近變化緩慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的時候變化迅速。正切函數的圖像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直漸近線。這是因為在 θ 從左側接進 (k + 1/2)π 的時候函數接近正無窮，而從右側接近 (k + 1/2)π 的時候函數接近負無窮。
另一方麵，所有基本三角函數都可依據中心為 O 的單位圓來定義，類似於曆史上使用的幾何定義。特別是，對於這個圓的弦 AB，這裏的 θ 是對向角的一半，sin(θ) 是 AC（半弦），這是印度的 Aryabhata（AD 476-550）介入的定義。cos(θ) 是水平距離 OC，versin（θ） = 1 ? cos(θ) 是 CD。tan(θ) 是通過 A 的切線的線段 AE 的長度，所以這個函數才叫正切。cot(θ) 是另一個切線段 AF。 sec(θ) = OE 和 csc(θ) = OF 是割線（與圓相交於兩點）的線段，所以可以看作 OA 沿著 A 的切線分別向水平和垂直軸的投影。DE 是 exsec（θ） = sec(θ)-1（正割在圓外的部分）。通過這些構造，容易看出正割和正切函數在 θ 接近 π/2（90 度）的時候發散，而餘割和餘切在 θ 接近零的時候發散。
起源
三角學"，英文trigonometry，法文trigonometrie，德文Trigonometrie，都來自拉丁文 trigonometria。現代三角學一詞最初見於希臘文。最先使用trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作，創造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角學)及μετρει υ(測量)兩字構成的，原意為三角形的測量，或者說解三角形。古希臘文裏沒有這個字，原因是當時三角學還沒有形成一門獨立的科學，而是依附於天文學。因此解三角形構成了古代三角學的實用基礎。
早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候，由於墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移；後來，貿易的發展和求知的欲望，又推動他們去長途旅行。在當時，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經水路沿著海岸線作長途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時，人們白天拿太陽作路標，夜裏則以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠的異域海岸航行的人指出了正確方向。
就這樣，最初的以太陽和星星為目標的天文觀測，以及為這種觀測服務的原始的三角測量就應運而生了。因此可以說，三角學是緊密地同天文學相聯係而邁出自己發展史的第一步的。
三角學問題的提出三角學理論的基礎，是對三角形各元素之間相依關係的認識。一般認為，這一認識最早是由希臘天文學家獲得的。當時，希臘天文學家為了正確地測量天體的位置。研究天體的運行軌道，力求把天文學發展成為一門以精確的觀測和正確的計算為基礎之具有定量分析的科學。他們給自己提出的第一個任務是解直角三角形，因為進行天文觀測時，人與星球以及大地的位置關係，通常是以直角三角形邊角之間的關係反映出來的。在很早以前，希臘天文學家從天文觀測的經驗中獲得了這樣一個認識：星球距地麵的高度是可以通過人觀測星球時所采用的角度來反映的(如圖一)；角度(∠ABC)越大，星球距地麵(AC)就越高。然而，星球的高度與人觀測的角度之間在數量上究竟怎麽樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學向數學提出的第一個課題－製造弦表。所謂弦表，就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表 (如圖二)，AC的長度與∠ABC的大小之間的對應關係。
獨立三角學的產生
雖然後期的阿拉伯數學家已經開始對三角學進行專門的整理和研究，他們的工作也可以算作是使三角學從天文學中獨立出來的表現，但是嚴格地說，他們並沒有創立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數學的一個獨立學科加以係統敘述的，是德國數學家雷基奧蒙坦納斯。
雷基奧蒙坦納斯是十五世紀最有聲望的德國數學家約翰?謬勒的筆名。他生於哥尼斯堡，年輕時就積極從事歐洲文藝複興時期作品的收集和翻譯工作，並熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯數學家們在三角方麵的工作比較了解。
1464年，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發表了《論各種三角形》。在書中，他把以往散見在各種書上的三角學知識，係統地綜合了起來，成了三角學在數學上的一個分支。
現代三角學的確認
直到十八世紀，所有的三角量：正弦、餘弦、正切、餘切、正割和餘割，都始終被認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段，即三角學是以幾何的麵貌表現出來的，這也可以說是三角學的古典麵貌。三角學的現代特征，是把三角量看作為函數，即看作為是一種與角相對應的函數值。這方麵的工作是由歐拉作出的。1748年，尤拉發表著名的《無窮小分析引論》一書，指出："三角函數是一種函數線與圓半徑的比值"。具體地說，任意一個角的三角函數，都可以認為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM後，所得的線段OP、OM、MP(即函數線)相互之間所取的比值(如圖八)，sinα＝MP/OP，cosα＝OM/OP，tanα＝ MP/OM等。若令半徑為單位長，那麽所有的六個三角函數又可大為簡化。
尤拉的這個定義是極其科學的，它使三角學從靜態地隻是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學成為一門具有現代特征的分析性學科。正如歐拉所說，引進三角函數以後，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算。一切三角關係式也將很容易地從三角函數的定義出發直接得出。這樣，就使得從希帕克起許多數學家為之奮鬥而得出的三角關係式，有了堅實的理論依據，而且大大地豐富了。嚴格地說，這時才是三角學的真正確立。
"正弦"的由來
公元五世紀到十二世紀，印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學的內容卻由於印度數學家的努力而大大的豐富了。
三角學中"正弦"和"餘弦"的概念就是由印度數學家首先引進的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。
我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同，他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應，即將AC與∠AOC對應(如圖五 )，這樣，他們造出的就不再是"全弦表"，而是"正弦表"了。
印度人稱連結弧(AB)的兩端的弦(AB)為"吉瓦"，是弓弦的意思；稱AB的一半(AC) 為"阿爾哈吉瓦"。後來"吉瓦"這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為"彎曲"、"凹處"，阿拉伯語是 "dschaib"。十二世紀，阿拉伯文被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了"sinus"。
三角學輸入我國，開始於明崇禎4年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為曆書的一部份呈獻給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學。在《大測》中，首先將sinus譯為"正半弦"，簡稱"正弦"，這就成了正弦一詞的由來。
"弦表"問世
根據現在的認識，弦表的製作似應該是由一係列不同的角出發，去作一係列直角三角形，然後一一量出AC，A'C'，A''C''…之間的距離。然而，第一張弦表製作者希臘文學家希帕克 (Hipparchus，約前180~前125)不是這樣作，他采用的是在同一個固定的圓內，去計算給定度數的圓弧AB所對應的弦AB的長(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具量出弦長來製表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，現在我們所知關於希帕克在三角學上的成就，是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實上不少是他自己的創造。
據托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們采用了巴比倫人的60進位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以後，羅馬人把它們分別取名為"partes minutae primae"和"partes minutae secundae"；後來，這兩個名字演變為"minute"和"second"，成為現在角和時間的度 量上"分"和"秒"這兩個單位得起源。
建立了半徑與圓周的度量單位以後，希帕克和托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應的弦長。比如 60o弧(1/6圓周長)所對的弦長，正好是內接正六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出60o弧對應的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位)；用同樣的方法，可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值，接著就利用現在所稱的"托勒密定理"，來推算兩條已知所對弦長的弧的"和"與"差"所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基於這樣一種幾何上的推算。他們終於造出了世界上第一張弦表。
補充:60進製
60進製以度為單位,將圓周分成360等份,每一份所對的圓心角叫做1度,1度有60分,1分60秒。在時間上,1小時有60分,1分60秒。這種60進製起源於巴比倫是1854年由欣克斯(Edward Hincks,1792-1866) 研究泥板上的楔形文字所發現的,這些泥板是公元前2300-1600年的遺物。Edward Hincks 是愛爾蘭人,以解讀埃及的象形文字及巴比倫的楔形文字著稱於世。
巴比倫人為什麽用60作為進位的基數呢？這是很有趣的問題，引起後人的種種猜測。以下我就列舉幾個有趣的例子。
(1)數學史家M.康托爾(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920)曾認為他們最初以360天為一年。將圓周分為360度,太陽就每天行一度。又圓內恰好可以連續作6條等於半徑長的弦,每一條弦所對的長是60度,基數60或者由此而來。但根據考證,巴比倫人很早就知道太陽年是365日,太陰年(12個月)是354或355日,因此這種假說很難成立。康托爾後來也放棄了這種說法。
(2)60這個數字的選擇是因為它是許多簡單數字2,3,4,5,6,10,12,……的倍數,從而它的1/2,1/3,1/4, 1/5,……都是整數,用起來比較方便。這種想法早在希臘時代的賽翁就已指出,近年來又有 勒夫勒等人提倡。然而有人認為這是違反曆史事實的,因為記數製度不可能由某些學者為了"科學目的"自由創造出來,而是悠久曆史發展的結果。
(3)克維奇(G.Kewitsch)在1904年提出,當時兩河流域有兩個民族,1個用10進製,一個用6進製。兩種製度混合調和就形成60進製。10進製是容易理解的,因為人們用10個指頭來計算,而6進製是用一隻手來計算,5個指頭表示1至5,握拳表示6,6以上,就要進位了。其實有幾種意見認為是和指算有關。用手指計算的確在某些地區和年代流行過,甚至在近代也是如此。像我國也有"掐指一算"的說法。
總之,對於基數60的起源,至今還沒有一致公認的看法。中國在殷商時代(公元前16-11世紀),就開始用幹支紀日、紀年，從甲子起,60一個循環,周而複始,叫做六十花甲子。可以說和巴比倫異曲同工,不過沒有發展為進位值。
＊希伯諸斯據說曾編著了第一個三角函數表，這個成就使他贏得了"三角學之父"的稱謂。
詞匯
sin正弦：sine
cos餘弦：cosine
tan正切：tangent
cot餘切：cotangent
sec正割：secant
csc餘割：cosecant
versin正矢：versed sine
covers餘矢：coversed sine或versed cosine
基本公式
同角三角函數關係式
o平方關係：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=1- 2sin^2(a)=2cos^2(a)-1
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
tan^2(α)+1=1/cos^2(α)
2sin^2(a)=1-cos2(a)
cot^2(α)+1=1/sin^2(a)
o積的關係：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
o倒數關係：
tanα ocotα＝1
sinα ocscα＝1
cosα osecα＝1
o商的關係：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等於角A的對邊比斜邊,
餘弦等於角A的鄰邊比斜邊
正切等於對邊比鄰邊,
o對稱性
180度-α的終邊和α的終邊關於y軸對稱。
-α的終邊和α的終邊關於x軸對稱。
180度+α的終邊和α的終邊關於原點對稱。
180度-α的終邊關於y=x對稱。
o誘導公式
公式一：
設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α與 -α的三角函數值之間的關係：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
補充：6×9＝54種誘導公式的表格以及推導方法（定名法則和定號法則）
f(β)→
f(β)＝↘
β↓
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360°k+α sinα cosα tanα cotα secα cscα
90°-α cosα sinα cotα tanα cscα secα
90°+α cosα -sinα -cotα -tanα -cscα secα
180°-α sinα -cosα -tanα -cotα -secα cscα
180°+α -sinα -cosα tanα cotα -secα -cscα
270°-α -cosα -sinα cotα tanα -cscα -secα
270°+α -cosα sinα -cotα -tanα cscα -secα
360°-α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
﹣α -sinα cosα -tanα -cotα secα -cscα
定名法則
90°的奇數倍+α的三角函數，其絕對值與α三角函數的絕對值互為餘函數。90°的偶數倍+α的三角函數與α的三角函數絕對值相同。也就是"奇餘偶同，奇變偶不變"
定號法則
將α看做銳角（注意是"看做"），按所得的角的象限，取三角函數的符號。也就是"象限定號，符號看象限".（或為"奇變偶不變，符號看象限"
2在Kπ/中如果K為奇數時函數名不變，若為偶數時函數名變為相反的函數名。正負號看原函數中α所在象限的正負號。關於正負號有可口訣；一全二正弦，三切四餘弦，即第一象限全部為正，第二象限角正弦為正，第三為正切、餘切為正，第四象限餘弦為正。）
比如:90°+α。定名：90°是90°的奇數倍，所以應取餘函數；定號：將α看做銳角，那麽90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，餘弦為負。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 這個非常神奇，屢試不爽~
還有一個口訣"縱變橫不變，符號看象限"，例如：sin(90°+α)，90°的終邊在縱軸上，所以函數名變為相反的函數名，即cos，將α看做銳角，那麽90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，所以sin(90°+α)=cosα
o兩角和與差的三角函數
cos(α+β)=cosαocosβ-sinαosinβ
cos(α-β)=cosαocosβ+sinαosinβ
sin(α±β)=sinαocosβ±cosαosinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαotanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαotanβ)
o和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
o積化和差公式：
sinαocosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαosinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαocosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαosinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
o倍角公式：
sin(2α)=2sinαocosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)
cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)
csc(2α)=1/2*secαocscα
o三倍角公式：
sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinαosin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosαocos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)
on倍角公式：
sin(nα)=ncos^(n-1)αosinα-C(n,3)cos^(n-3)αosin^3α+C(n,5)cos^(n-5)αosin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)αosin^2α+C(n,4)cos^(n-4)αosin^4α-…
o半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)
sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))
csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))
o輔助角公式：
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）
o萬能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
o降冪公式
sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
o三角和的三角函數：
sin(α+β+γ)=sinαocosβocosγ+cosαosinβocosγ+cosαocosβosinγ-sinαosinβosinγ
cos(α+β+γ)=cosαocosβocosγ-cosαosinβosinγ-sinαocosβosinγ-sinαosinβocosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanαotanβotanγ)/(1-tanαotanβ-tanβotanγ-tanγotanα)
o其它公式
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)
cos30=sin60
sin30=cos60
o推導公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2
o其他[及證明]：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
證明：
左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （積化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊
等式得證
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
證明:
左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊
等式得證
三倍角公式推導
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]
=4sina(sin^260°-sin^2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos^2a-cos^230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述兩式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
相關計算
冪級數
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項都是正整數冪的冪函數, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數, 這種級數稱為冪級數.
泰勒展開式(冪級數展開法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……
實用冪級數：
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|