科探柯菲一、數學,科探柯菲1 曆史軍事 U 網
1《幾何原本》——理性的典範
歐幾裏得（euclid，古希臘，－300前後）的《幾何原本》不僅在數學領域是神聖的，在科學界也是理性的典範，因為它不僅提供了一套理論，還提供了一套思想體係——公理化，而且其中運用的方法，基本上涵蓋了數學思考的藝術和方法。
1.1先天理性——公理
“從小亞細亞到西西裏島、南意大利及整個地中海地區的許多學派和個人的工作，都被歐幾裏得總結在一本名為《幾何原本》的傑作中。[1]”據史料記載，《幾何原本》的內容可能吸取了前人的成果。原著共十三卷，第1—4卷和第7、9卷，可能來自畢達哥拉斯（pythagoras）學派的著作；第8卷可能來自阿爾希塔斯（archytas）的著作；第5、6和7卷的部分內容可能來自歐多克索斯（eudoxus）的著作；第10和Ⅻ卷可能來自泰特托斯（thcaetetus）的著作，但是，也有人認為最難讀的第10卷（十三種無理線段）是歐幾裏得本人的研究成果[2]。可見，《幾何原本》是一本凝聚前人智慧的作品，歐幾裏得是一位數學的集大成者。
前人的智慧在歐幾裏得那裏成為了一套體係。這套體係中關鍵是“公理”的思想。對於公理，亞裏士多德這樣說明：“並不是所有的東西都能被證明，否則證明的過程將會永無止境。證明必須從某個地方起步，用以起步的這些東西是能得到認可的，但卻不是不可證明的。這些就是所有科學的第一普遍的原理，被人們稱之為公理，或常識。[3]”
與這一思想，最契合的是老子《道德經》中的一句話，“有物混成，先天地生，寂兮寥兮，獨立而不改，周行而不殆，可以為天下母。”為什麽這樣說，比如要為世界找一個開端，找到了上帝，那麽上帝又是從何而來？這樣追溯上去，就會有問題。要解決的話：要麽就是“人類造出上帝，上帝又造出人類”這樣的循環論證；要麽就是“上帝是最初的”。所以西方世界不論到了什麽時候，有何等的智慧，好像仍然信奉上帝；與其說他們信奉宗教，倒不如說他們信奉“真理有個最初”。而老子與亞裏士多德的理解，一開始就是個抽象而永恒的根本——道（公理）。
《幾何原本》[4]中隻用了五個公理和五個公設：
五大公理：1.等於同量的量彼此相等。（即a=c，b=c，那麽a=b）2.等量加等量，其和仍相等。（即a=b，c=d，那麽a+c=b+d）3.等量減等量，其差仍相等。（即a=b，c=d，那麽a-c=b-d）4.彼此能夠重合的物體是全等的。（對於幾何而言，相等就是重合。a與b重合，即a=b）5.整體大於部分。（即a=a+b，那麽a＞a，這一點後來被證明在無限的概念中無效）
五大公設：1.由任意一點到另外任意一點可以畫直線。2.一條有限直線可以繼續延長。3.以任意的點為心及任意的距離可以畫圓。4.凡直角都彼此相等。5.同平麵內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角的和，則這兩條直線經無限延長後在這一側相交（因為其表述麻煩，所以後人把它改成一種等價形式：過直線外一點，有且隻有一條直線與已知直線平行。所以也稱之為“平行公設”）。
在希臘時期，公理和公設是有區別的。公理是數學各個分支都承認的基本道理，公設隻是幾何學中所需要的基本道理。現代學者已不再將它們區分，而統稱為公理。其實我們現在來看公理跟公設，還是有區別的，這五大公理都非常簡單，甚至看起來好像是多餘的，和我們說“太陽每天早上會從東方升起”一樣。可這正是公理的基本要點，簡單而且大家都知道都接受。建立在這樣的基礎上的科學才是有效的真理。（當然要注意一點的就是隨著科學的發展，我們不斷地提高對我們人類自身感知能力的“認識”，我們不斷地在建立一些新的“公理”，而這些公理已經超乎常人的見識。）可神奇正在於，一直到現在，這五大公理依然是不可推翻，而且是數學一切計算的基本法則；這是因為一開始這五大法則就已經打破了人類的“感知”，它已經是抽象於現實世界的絕對理性。正如我們知道“世界上沒有兩片完全相同的葉子”，可是我們需要“相等”這個關係。
五大公設的前四個和五大公理相同，它們都是簡單而且能被大家接受。唯獨“平行公設”，引起了很多的爭論，後世數學家雖然承認第5公設是正確的，但大家都覺得它不像是“公設”，更像是一條可以被證明的“命題”。因為我們一看就知道它並不簡潔，而又好像能夠憑借畫個圖（如圖1.1）就可以清楚看出來，知道三角形內角和為180。的人，乍一看就會覺得這是可以證明的。但奇怪的是，經過了二千年的時間，耗盡了無數數學家的熱情與心血都未能找到對第5公設的一個合理證明！當然這也又一次印證了哲學的巧妙：越簡單的越困難。所以，到了現在我們也覺得歐幾裏得相當了不起，這的確必須是個公設。
奧妙之處，在於這裏涉及的是直線，可以無限延長，而誰都無法到達無限去，比如兩個內角的和無限接近180。的話，那麽即使是在一平麵上也是無限接近，卻最終無法相交，可這樣就不是相交於一點了。甚至，其中的一個關鍵點，三角形的內角和究竟是不是180。，還是一個大問題。180。是測量出來的，可不是證明出來的。高斯曾經找了三個山頭，他認為很遠了，然而測量的結果當然不是180。，因為測量是存在誤差的，即使非常小。但是隻要是非常小的差別，就不能明確是180。。這一點也看出了數學的抽象與嚴謹。
當然，無聊的事情不是沒有好處，一些數學家，俄國的羅巴切夫斯基（1829年《論幾何基礎》）和匈牙利的波爾約（1832年《絕對幾何學》），還包括高斯（去世後留下的手稿）就借助對第5公設的思考而找到了“非歐幾何”。他們發現即使否定了第5公設，我們仍然可以得到一個沒有矛盾的幾何體係，而這個體係就是非歐幾何。他們都是假定過線外一點有兩條直線與所給的直線平行，得到了兩種全新的幾何：雙曲幾何（內角和小於180。）、橢圓幾何（內角和大於180。）。而且它們和歐氏幾何在我們通常的尺度下都無法辨別，現在還沒有測量儀器可以辨別，在正常尺度下，三種幾何的三角形內角和都接近於180。。
非歐幾何的出現，給了我們很多的啟發。張順燕指出：“歐氏幾何的誕生動搖了人們的真理觀，使人們認識到數學隻是一種思維的產物，不是客觀世界的產物，同時又讓人們看到三種幾何，也就是說數學是邏輯的產物……從這三種幾何可以看出，數學的的確確是同根異幹，同幹異枝，同枝異葉，每兩個東西都是完全不一樣的。[5]”而其實更關鍵的是，對根源的反思，正是創新的源泉。公理的建設就是數學的根的建設，最根本，最簡單，也最重要。對於它們的理解和反思肯定會創造出更神奇的數學。現在，我們理解歐氏幾何是一種中觀的幾何，他適用於我們的一般計算。不過涉及到宇宙宏觀或者粒子微觀世界，我們用的卻是非歐幾何。而這一點，恰好又告訴我們，公理和公設，隨著人類思想和實踐的進步，也會不斷發展，而且借此又可以建設新的體係。這也是公理化思想的根本所在。
現在，不妨思考一個有趣的問題，為什麽剛好是五個公理，五個公設呢？難道與中國“五行”對應？當然不是。我們知道單一的公理，是無法進行任何有效的計算推演的。雖然我們可以清楚地看到五大公理之間有著某種單向的聯係，可是這些依然得靠規定，不然當年為什麽不加上“等量乘以減等量，其積仍相等”“等量除以等量，其商仍相等”呢？而且我們現在也知道，其實嚴格地說還需要更多的公設，比如有人發現，《原本》中的第一卷第一個命題的推理，就出了問題：在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。（如圖1.2）
設ab是已知有限直線.那麽，要求在線段ab上作一個等邊三角形.
以a為心，且以ab為距離畫圓bcd；[公設3]
再以b為心，且以ba為距離畫圓ace：[公設3]
由兩圓的交點c到a，b連線ca，cb。[公設1]
因為，點a是圓cdb的圓心，ac等於ab。[定義15]
又點b是圓cae的圓心，bc等於ba。
但是，已經證明了ca等於ab；所以線段ca，cb都等於ab。
而且等於同量的量彼此相等[公理1]
三條線段ca,ab,bc彼此相等。
所以三角形abc是等邊的，即在已知有限直線ab上作出了這個三角形。
這就是所要求作的。
以上這個方法，是運用標準的尺規作圖，而且還是典範的運用個公理和公設進行證明。可是其中也有一個內容被忽略了，雖然這裏作圖規範，但其實還少了一個公設，就是分別由a和b為圓心，ab為距離所作的圓bcd和圓ace至少有一個交點c。也許我們都會認為，畫出來就有啊，但是畫出來有並不一定存在，它可能隻是個偶然性而已，而缺乏絕對的必然性。這一點非常重要！就如第5公設一樣，我們畫再多的不平行線都可以成功，但是我們無法證明它，所以它必須是公設，而不是什麽能夠推導出來命題。天地日月皆有缺，《原本》的缺憾是什麽？沒有人能夠說清楚到底“公理”有哪些？因為“公理”的存在，依賴的是我們人類對於世界的認知，而這一認知是個不斷進步的過程。由此可見，五大公理和五大公設是比較和諧，比較優雅的一個數字，數學家對數字有點迷信也是自然的。太多了，顯得羅嗦，太少了用起來又會不方便。而且這也隻是代表了當時的優雅成果而已。
五大公理和五大公設的奧妙在於，憑借它們居然可以推演出整個幾何學係統，而且顯得那麽無懈可擊。最著名的例子要推英國哲學家霍布士（,1588～1679）。下麵是歐布烈()精彩的描寫：那時，霍布士已年過40歲，在一個偶然機會下，他遇見了幾何學。他無意中在圖書館裏看到歐氏《幾何原本》，正好打開在第一冊的第47個定理，即勾股定理。讀了該定理後，他的第一個反應是“我的天啊，這怎麽可能！”他研讀其證明，發現要用到前麵的定理，於是翻到前麵讀之，又要用到更前麵的定理，如此不斷地逆溯倒讀，最後終於來到幾何的源頭，即公理。霍布士於是肯定了勾股定理的真確性，也愛上了幾何學[6]。我們現在看起來都會感覺相當神奇。這一種體係反映出來的思維，又是和五行思維相同了。《孫子兵法?勢篇》中說：“聲不過五，五聲之變。不可勝聽也。色不過五，五色之變，不可勝觀也。味不過五，五味之變不可勝嚐也。”其實也就是這樣的道理。
牛頓開始覺得歐幾裏得幾何太過於簡單，後來他發現了歐幾裏得的價值，不僅熱心地向別人推薦它，還仿照《幾何原本》的體係，從定義和定律出發，導出命題，再把結論和實驗結果相比較，以公理化模式完成了《自然哲學的數學原理》。愛因斯坦也深受《幾何原本》影響，他在《自述》中說，“在12歲時，我經曆了另一種性質完全不同的驚奇：這是在一個學年開始時，當我得到一本關於歐幾裏得平麵幾何的小書時所經曆的。這本書裏有許多斷言，比如，三角形的三個高交於一點，它們本身雖然並不是顯而易見的，但是可以很可靠地加以證明，以至任何懷疑似乎都不可能。這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以形容的印象。至於不用證明就得承認公理，這件事並沒有使我不安。如果我能依據一些其有效性在我看來是無容置疑的命題來加以證明，那麽我就完全心滿意足了。[7]”這段話，可以讓我們看到了愛因斯坦對公理意義的非凡理解。公理、公設、定義就好像是七巧板，運用它們可以組合成幾乎一切的圖形，而因為它們是大家接受的“真實”，所以組合而成的也是“真實”。而且這些真實可以超越我們的感官，是確切的必然的。正是因為他體會了這些，才有了他在狹義相對論和廣義相對論中的成果，我們可以從他的思考過程中發現“公理化思想”是其思維的模式[8]。
吳文俊指出“東西方數學的異同，也就是現在歐美的數學跟東方數學(主要是古代的中國數學)有什麽異同。我們學現代數學(也就是西方數學)，主要內容是證明定理；而中國的古代數學根本不考慮定理不定理，沒有這個概念，它的主要內容是解方程。我們著重解方程，解決各式各樣的問題。[9]”中國數學曾經取得輝煌的成就，可是在近代卻遲滯不前，關鍵一點就是中國缺乏這樣的“公理體係”，也缺乏這樣的“公理”思維，所以所有的收獲都是零碎的，無法統一起來，也缺乏一種有效的統一和總結。
總而言之，歐幾裏得幾何是用公理方法建立演繹數學體係的最早典範。公理化方法已經幾乎滲透於數學的每一個領域，對數學的發展產生了不可估量的影響，公理化結構已成為現代數學的主要特征。而且公理化思想已經成為科學的思維基礎，對於各個學科的係統的建立，對於各個學科的發展都有著相當重要的意義。
1.2定義的反思——完美定義就是不定義
其實在《幾何原本》中一開始列出來的是定義，不是公理。對於定義的反思，也是件有趣的事情。與公理公設的數量少而有限不同，歐幾裏得的定義（按十三卷本），總共有132個。這麽多的定義，肯定容易出問題。
首先，是對於定義存在的懷疑，有數學家指出：《原本》第一卷就首先給出23個定義，前麵7個定義（1.點是沒有部分的。2.線隻有長度而沒有寬度。3.一線的兩端是點。4.直線是它上麵的點一樣地平放著的線。5.麵隻有長度和寬度。6.麵的邊緣是線。7.平麵是它上麵的線一樣地平放著的麵）實際上隻是幾何形象的直觀描述，後麵的推理完全沒有用到。不過，這一點其實不重要，因為歐幾裏得給出這些定義，很可能隻是想要明確表達自己的一些概念理解。
其次，是對於定義本身的懷疑。克萊因批評說：“在這部著作中，歐幾裏得當時所給出的這些術語，並不是物質實體本身，而是從物質實體中抽象出來的概念。他說，點，就是不包括任何部分的東西。歐幾裏得在下定義方麵，走向了不必要，不明智的極端。一個具有邏輯結構、自足的體係，必須從某一個起點開始。不能指望對每一個使用的概念都給出定義，因為下定義就是用其他的概念去描述一個概念，而前者又必須通過其他的概念來描述。很明顯，如果要使這個過程不至於循環……[1]”克萊因的評價，其實說的和“公理”的“先天”本質差不多，定義尤其是具有原始意義的定義，必須是空缺的，不需具體的；而且這些不規範的定義沒有影響研究，其實也揭示了這些定義的無意義。所以希爾伯特（d**idhilbert，1862～1943）1899年發表著名的《幾何基礎》一書。引入了“點”“線”“麵”“通過”“在……之間”“相等”6個不加解釋的定義。被稱為對《幾何原理》工作的最好完善。
再次，克萊因認為“並非所有的概念都能在一個獨立的係統中得到定義。所有的概念都源於一定的物質實體，並且代表著這些物質實體。但是，物質的意義並不能給這種正式定義以任何幫助，因為它們並不是數學的內容。令人驚奇的是，幾何學中的一些無法定義的概念，並沒有給研究帶來麻煩。[1]”他指出了物質與定義之間一種微妙的關係，簡單地說就是物質（現實世界）給我們帶來定義，可是它始終無法與數學的定義直接劃上等號。理解這一點很重要。比如彭羅斯和霍金一起發表“奇點定理”的報道，非常簡單地將其結果概括為“宇宙誕生自一個奇點”，然而，彭羅斯本人稱“奇點這個詞給人的印象好像本身暗示了什麽，其實那不過是‘這個數學模型用在這裏不很合適’的意思。”他還說，“太遺憾了。麵向大眾的解釋的確常常就是這樣寫的……不過，我的真正意思其實是‘需要有新的理論’。[10]”如何理解彭羅斯這些話呢？按照目前的“大爆炸理論”，必須存在一個“奇點”，而這個概念超出了人類的理解，我們覺得這是不可能的，甚至連最純粹的數學都無法與這樣的概念相對應。可是事實又多次證明，宇宙的真相總是超乎人類狹隘的“常識”。如彭羅斯所言，這代表新的理論來解釋。
最後，有人認為歐幾裏德的定義含混不清。其實，“含混不清”是表述與理解必然存在的矛盾。歐幾裏德的表述，在幾千年前，和中國的文言文差不多，限製於文化傳播工具，不可能詳細，所以我們現在來看必然有這樣的問題。而且，定義體現著人類對於物質世界認知的進步和發展，所以總是有其時效性。比如，對於“時間”“空間”“零”這些基本的概念，到現在依然在不斷地進行深入，而優秀的數學家、自然科學家總是抓住了關鍵，把握到被別人忽略的屬性，創造出新的“定義”，牛頓理解“線是移動的點留下的軌跡，麵是移動的線形成的”，如果不這麽思考，那麽隻有位置，沒有大小的“點”連起來就可以是“線”麽？無數的沒有寬度、隻有長度的“線”，可以連接成“麵”麽？
可見“定義”，尤其是基本的定義，如果能夠作到“若有若無”，讓大家都能夠體會“此中有真意，欲辨已忘言”，才是最好的。而完美的定義，隻能是不定義。更重要的是，定義是研究的基礎，它體現著極大的思想性和關鍵性。
1.3具體方法——幾近於道
留存的歐幾裏得資料很少，我們無法知道他工作的具體過程，隻知道《幾何原本》是集大成之作，所以，我們隻能從《幾何原本》中具體的證明過程，探討他的思維方法。
歐幾裏得運用的方法不多，但是運用自如了，又好像可以解決所有問題。而且仔細思考就會發現，《幾何原本》幾乎涵蓋了數學思維的方法，可以稱“大盈若衝，其用不窮”，幾近乎道。
1.3.1綜合法與分析法——基本的思維方法
有人稱歐幾裏得提出綜合法和分析法。這樣的說法是很不牢靠的，雖然這兩種方法是數學的基本方法，而且很自然，也很必然地可以在歐幾裏得的證明中找到這樣的思路。但歐幾裏得沒有也不可能明確提出這樣的概念和說法。我們隻能妥帖地稱：歐幾裏得示範地規定了幾何證明的方法，包括綜合法和分析法。
綜合法和分析法，是最簡單最基本，也最通俗的思維方式。證明一個命題的正確時，我們先從已知的條件出發，通過一係列已確立的公理、定義、命題，逐步推演，直到要證明的結果，這種思維方法，就叫做綜合法。而很明顯這是我們正常的思維順序，即“由因導果”。相反地，先從結論出發，然後追究它成立的原因，再看這些原因成立又需要什麽條件，如此逐步往上逆求，直至達到已知的事實，這樣一種思維方法就叫做分析法，也即“執果索因”。歐幾裏得一般的證明過程的描述，都可以讓我們看到綜合法的運用；當然體現綜合法的表述，很可能思考過程卻是采用了相反的分析法，就像我們解題一樣，可以從結論逆推，然後按順序書寫答案。
具體而言，關鍵隻在於以什麽為先以什麽為後。我們一般思考問題也是如此，1912年蔡元培擔任教育部部長，剛上任他就和朋友兼搭檔——次長範源濂有了一個爭論：範認為小學沒辦好，怎麽能辦好中學，中學沒辦好，怎麽能辦好大學，所以教育的重中之重就是整頓小學；蔡則認為沒辦好大學，中學師資從哪裏來？沒辦好中學，小學的師資哪裏來？所以應當整頓大學。[11]爭論的結果當然是同時進行。這就體現了兩種處理問題的思維方式，一是自上而下，一是自下而上。而且有這兩種，當然就必然有第三種，從兩頭到中間，而有第三種就有第四種：從中間到兩頭。
比如，“全球變暖”引發科學家對於二氧化碳的研究，要研究地球二氧化碳的變化是個很困難的過程。為了對更久遠的二氧化碳水平有所認識，研究人員不得不依靠間接的方法：查看化石葉片中的氣孔密度。植物需要讓二氧化碳進入氣孔，也通過這些氣孔失去水分，植物通常沒有不必要的東西。美國康涅狄格州米德爾頓衛斯理大學的丹納?羅耶（danaroyer）說：“人們觀察到，在二氧化碳增加時，很多植物的氣孔密度減少，這趨向於是一種物種特異性反應。”[12]這一方法，其實就是從兩頭推中間，這在具體的解決問題中更常見，也更能體現出思維的能力。我們總是存在“已知”和“想知”，就是不能一步步順序推理，所以必須找到中間的某個點，以此連接前後，形成明確的科學邏輯過程。就如這一成功案例，我們知道現在的二氧化碳情況，但是對於過去我們不清楚，想知道。這裏沒有一個必然的推理過程，所以我們隻能運用已知的二氧化碳跟植物關係的知識，和利用存在的植物化石來研究。
可能歐幾裏得在具體的思維過程中，運用過這樣的方法，隻是我們無法看到；所以康托創造“對角線法”可以說是方法上的真正創造，“對角線法”體現了一種由內而外的技巧（具體參考下文康托部分）。
1.3.2切分與延伸思維——對單一事物的處理方法
在《幾何原本》的第一卷中，我們可以看到很多簡單而好像沒有意義的作圖證明。其實這一切都是必要的鋪墊。就霍布士的感悟，可以看到它們都是為“勾股定理”這樣的大命題，甚至是一切幾何證明作鋪墊。比如，命題9（“二等分一個已知直線角”）、命題10（“二等分已知有限直線”）和命題11（“由已知直線上一已知點作一直線和已知直線成直角”）、命題12（“由已知無限直線外一已知點作該直線的垂線”），其實說到底隻是指出“二等分角和線”“作垂線”是必然可行的。而命題31（“過一已知點作一直線平行於已知直線”）和命題1（“在一個已知有限直線上作一個等邊三角形”）、命題46（“在已知線段上作一個正方形”）也隻是指出作平行線、外接等腰三角形、外接正方形的必然可行性。這兩類其實是對某一幾何對象的處理方法：一是切分、一是延展。歐幾裏得其實就是運用了這兩種簡單而根本的方法來解決問題的。
具體而言，我們來看看命題10的證明。（如圖1.3）
二等分已知有限直線.
設ab是已知道有限直線，那麽，要求二等分有限直線ab.
設在ab上作一個等邊三角形abc.［1.1］
且設直線cd二等分角acb.［1.9］
則可證線段ab被點d二等分.
事實上，由於ac等於cb，且cd公用；兩邊ac、cd分別等於兩邊bc、cd；且角acd等於角bcd.
所以，底ad等於底bd.［1.4］
從而，將已知有限直線ab二等分於點d.作完
這裏運用了卷一中的命題1、9、4，來證明可以二等分已知有限直線。具體來說，運用命題1隻是為了作外接等邊三角形，運用命題9隻是為了作角平分線。通過對直線ab的延展，再切分，終於解決了問題。如果不這樣處理，單一的一條線，幾乎沒有思考和處理的可能。這點聯係我們平常處理問題，如果是對某一個獨立問題的思考，要麽對該問題進行分解分析，要麽聯係其他相關問題來解決問題，否則無從下手。
這也就是說明，其實，歐幾裏得在具體處理問題時，運用了兩種非常簡單的技術性思維：延展與切分。而延展和切分的具體措施，除了上麵提到的那些還有很多。但不管有多少，其基本的思路很簡單，就是延展與切分。延展與切分，與中國哲學“一陰一陽之謂道”一樣，雖然簡單，但是卻是根本，運用起來效用無窮。
又比如《幾何原本》第一卷命題5：等腰三角形兩底角相等。因為單獨一個等腰三角形是無法進行任何分析討論的，所以必須作延長線，建立新的三角形，並使它們產生關係，這樣才能夠進行分析討論。此外的思路，必然地，就是作頂角的平分線或者作頂點到底邊的垂線，而目的到頭來也是建立新的三角形，並使它們產生關係，這樣都可以解決問題，可以說是殊途同歸。
1.3.3歸謬法和窮竭法——無窮與有限的轉換
歐幾裏得的《幾何原本》還記錄、使用了歸謬法、窮竭法。
在《幾何原本》第一卷命題6的證明中，歐幾裏得就運用了歸謬法。歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反麵出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。
很多時候我們走一個方向，卻怎麽也無法到達；但這時候我們如果換個方向，也許有意外的收獲。歸謬法就是這麽一個巧妙的方法。它告訴我們要懂得改變思維的方向。以最著名的素數（即質數）定理為例，《幾何原本?第九卷》列出的命題20：“預先給定任意多個素數，則有比它們更多的素數”。這裏，歐幾裏得故意回避“無窮”的概念，原命題其實也就是指出“素數有無窮多個”。對於“無窮”我們沒有辦法直接處理；所以，我們反過來設定：
假設質數隻有有限多個。
由此可設最大質數為p。
明顯，將q除以任何質數都餘1，
所以q亦應是質數。
因此，q是一個比p還要大的質數。
這是不可能的。
所以質數有無窮多個。（證完）
可見，歸謬法，不僅是逆方向的思考，而且還為我們提供了一套解決“無限”的方法。人類的感知和測量是有限的，所以麵對無限的問題，必須先把它轉換為有限的問題。而歸謬法一開始就是“化無限為有限”的利器。
我們這裏的證明是現代簡化的方法，歐幾裏得用的方法是“量盡”的方法，表述比較麻煩。不過，歐幾裏得的方法，其實也把幾何圖形和數（而且是不確定的數）聯係起來。這也是解決問題時，常用的一種變換。後來出現的函數，也是實現幾何與代數間的變換的方法。而“量盡”，其實又與“窮竭法”的手段有關。
窮竭法（methodofexhaustion），“窮竭”一詞起源於古希臘數學家安蒂豐（antiphon，―480？～―411？）的表述，他曾提出“從圓內接正多邊形開始，將其邊數加倍，可得到一個新的圓內接正多邊形，再將其邊數加倍，這樣不斷地作下去，‘最後’的多邊形必將與圓重合”[13]。安蒂豐提出這思路，並以此來解決化圓為方的問題。這和老子提出的“大方無隅”（最方正的形體沒有棱角）意思相同。莊子也在《天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”三國的劉徽也是借此思路，提出的計算圓周率的科學方法——割圓術。
在《幾何原本》中，歐幾裏得證明了“給出兩個不相等的量，若從較大的量中減去一個大於它的一半的量，再從所得的餘量中減去大於這個餘量一半的量，並且連續這樣下去，則必得一個餘量小於較小的量。”[14]具體在證明這一命題中，為了解決不確定數量（這樣才更又代表性）的問題，歐幾裏得還是運用了“歸謬法”。而且證明了這一命題，歐幾裏得也得到了“窮竭法”的理論基礎。之後，歐幾裏得還運用窮竭法證明了第十二卷的第2、5、10、18個命題。
歸謬法和窮竭法的關鍵說到底目標就是“化無限為有限”“化不確定為確定”。這一思路，既推動了代數學的發展，也促進了“微積分”的形成。
總之，不論是沿正常順序思考，還是逆向推理；是切分還是延伸，是幾何與代數間的轉換；是無限與有限的轉換，還是確定與不確定的轉換。各種各樣的論證方法，都有一個根本的思維，就是利用這樣的思維模式而創造出來的具體方法。正如《道德經》所言：“有無相生，難易相成，長短相形，高下相盈，音聲相和，前後相隨。恒也。”整個《幾何原本》的體係，其實可以用老子的思想來理解：太極就是最初的“道”，就是先天的公理和“無需定義”的定義；陰陽的對應和變化，就是方法的運用和命題的證明。
注釋：
[1]引自《西方文化中的數學》[美]莫裏斯?克萊因（morriskline）著張祖貴譯複旦大學出版社2005
[2]引自《幾何原本?後記》。《幾何原本》[古希臘]歐幾裏得著蘭紀正朱恩寬譯陝西科學技術出版社2003
[3]轉引自m.克萊因《西方文化中的數學》。相關內容還可以參考本書“九、邏輯學1.4論證的方法與反思”部分。
[4]這一部分中，涉及《幾何原本》原著的內容，如無另外標明，均引自蘭紀正、朱恩寬翻譯，陝西科學技術出版社2003年出版的版本。
[5]張順燕是北大數學教授，語見《相識數學》。《相識數學》中央電視台《百家講壇》欄目組編中國人民大學出版社2004
[6]轉引自蔡聰明《從畢氏學派到歐氏幾何的誕生》，《科學月刊》第二十六卷第二期～第七期
[7]《愛因斯坦文集》（第1卷）許良英範岱年編譯商務印書館1976
[8]具體內容可參考本書“二、物理2.1相對論”部分。
[9]《東方數學的使命》吳文俊2003年11月28日在“中國科學家人文論壇”上的演講。
[10]轉引自《大爆炸——宇宙通史》[英]帕特裏克?摩爾[英]布賴恩?梅[英]克裏斯?林陶特著李元譯廣西科學技術出版社2009。一般科普著作中，這樣理解：宇宙的最初是一個密度無窮大的點，即質量集中在大小為零的一個點上。當然，這很明顯不是彭羅斯的原意。
[11]引自《同舟共進》2010.4總262期《蔡元培：是真虎乃有風》王開林
[12]《科學新聞》2010.14總424期《氣候控製：真要二氧化碳負責嗎？》呂靜編譯
[13]轉引自《幾何原本?再版後記》
[14]《幾何原本》第十卷命題1。原句表述不夠簡潔，可以理解為a大於b，如果從a中減去超過一半，不斷這樣處理，最終可以得到一個a，這個a反而比b小。