歐拉常數最先由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1735年發表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定義。歐拉曾經使用C作為它的符號，並計算出了它的前6位小數。1761年他又將該值計算到了16位小數。
歐拉常數的計算公式
歐拉常數(Euler-Mascheroni constant)
歐拉-馬歇羅尼常數(Euler-Mascheroni constant)是一個主要應用於數論的數學常數。它的定義是調和級數與自然對數的差值。
學過高等數學的人都知道，調和級數S=1+1/2+1/3+……是發散的，證明如下：
由於ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由於
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的極限不存在，調和級數發散。
但極限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由於
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)
將ln(1+1/n)展開，取其前兩項，由於舍棄的項之和大於0，故
ln(1+1/n)-1/(n+1)1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)0
即ln(1+1/n)-1/(n+1)0，所以Sn單調遞減。由單調有界數列極限定理，可知Sn必有極限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
於是設這個數為γ，這個數就叫作歐拉常數，他的近似值約為0.57721566490153286060651209，目前還不知道它是有理數還是無理數。在微積分學中，歐拉常數γ有許多應用，如求某些數列的極限，某些收斂數項級數的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
歐拉常數發現的曆史
歐拉常數最先由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉1735年定義。曾使用C作為它的符號，並計算出了它的前6位小數。1790年，意大利數學家馬歇羅尼(Lorenzo Mascheroni)引入了γ作為這個常數的符號，並將該常數計算到小數點後32位。但後來的計算顯示他在第20位的時候出現了錯誤。
終於，Xavier Gourdon使用該公式在1999年計算歐拉常數到了108,000,000位，他使用了一種新算法：
An Cn
γ = ----- - -- - ln(n) + O(e^(-8n))
Bn Bn^2
βn n^k
An = ∑ ( -)^2 * Hk
k=0 k!
βn n^k
Bn = ∑ ( -)^2
k=0 k!
1 2n [(2k)!]^3
Cn = ---- ∑ ----
4n k=0 (k!)^4 * (16n)^(2k)
β滿足β(ln(β)-1)=3
目前尚不知道該常數是否為有理數，但是分析表明如果它是一個有理數，那麽它的分母位數將超過10E242080(Havil,第97頁)