我已經東拉西扯地向讀者們簡要介紹了許多平麵國的事情。現在，是時候換一個話題，開始講我怎樣接觸到空間的奧秘。畢竟，那才是本書的主題，目前為止的所有內容都隻不過是一個引子而已。
為了盡快切入主題，許多細節我就沒有時間向讀者們解釋了。恕我自誇，被我省略的那些細節事實上也是挺有意思的：比如，在沒有腳的前提下，我們平麵國的居民如何開始運動，又如何讓自己停下來？我們既沒有手，也沒有泥土的側壓力，更不能像你們那樣打地基，那麽我們是怎樣固定各種木結構、石結構和磚塊結構的呢？我們的雨水如何通過不同區域間的縫隙落下，而不讓北部地區擋住南部地區的降雨？我們的山丘、煤礦、樹木、蔬菜、季節和農業收獲分別具有怎樣的性質？我們的字母表長什麽樣，書寫方法如何？如何在線形的書寫板上寫字？除了這些問題，關於平麵國居民的物理存在方式我還能想出100個有趣的細節，但是在前麵的篇幅中，我根本沒有時間談論這些事情，現在我也不打算向讀者介紹這些內容。我隻想向各位讀者強調，省略這些內容並非因為我健忘，而是為了節約各位讀者的寶貴時間。
但是，在我開始講述我在空間國的冒險故事之前，讀者一定希望我用最後一點時間來介紹一下平麵國的上層階級。這些人是平麵國憲法的支柱和骨幹。他們控製我們的行為，決定我們的命運。我們不僅效忠於他們，甚至還崇拜和愛慕他們。不用說，我指的是我國的圓形階級或僧侶階級。
我把這群人稱作“僧侶階級”，但我們的“僧侶階級”和你們空間國的“僧侶階級”可大不一樣。在平麵國中，僧侶負責管理一切商業、藝術和科學；貿易、商務、軍事、建築、工程、教育、政治、立法、道德、神學統統都歸僧侶階級管。僧侶階級本身什麽都不做，所有事情都由其他人完成，但一切值得做的事情都是為僧侶階級服務的。
隻要一個人被稱作圓形，人們通常就認為他確實是一個圓形。但是，在受過良好教育的階層中，每個人都知道其實任何圓都不是真正的圓形，他們隻是一些邊數非常多、每條邊非常短的多邊形而已。當一個多邊形的邊數越來越多，他就越來越接近於一個圓形。對於邊數極多——比如有三四百條邊——的多邊形而言，即使是觸覺非常敏銳的人也很難摸到他們的角。事實上，我應該用虛擬語氣來說這句話：假使有人觸摸這種多邊形的話，他們想必很難摸到這種多邊形的角，因為在上流社會中，人們根本不會通過觸覺來分辨他人，觸摸圓形更被視為膽大包天的冒犯行為。
從十分年幼的時候開始，圓形就習慣於用一層神秘的麵紗來遮擋自己的真實形狀。由於上流社會中存在絕不觸摸他人的禮節，所以圓形往往能夠一直維持神秘感，不讓別人知道自己的確切邊數。由於多邊形的平均周長是3英尺，所以一個有300條邊的多邊形每條邊的長度不會超過1/100英尺，也就是1/10英寸多一點。如果一個多邊形有600條或者700條邊，那麽他的每條邊長就和空間國中針尖的直徑差不多。出於禮貌，我們總是假設當前的圓形首領有1萬條邊。
在低層的等邊階級中，自然法則規定每一代人隻能比前一代人多一條邊。但圓形階級卻不受這種限製。假如圓形階級也受這種限製的話，那麽圓形的邊數就會變成一個純粹的血統問題或算術問題——等邊三角形的第497代後裔必須是一個有500條邊的多邊形。但是事實顯然不是這樣的。圓形的血脈延續問題受兩條相反的自然規律影響：第一條規律是，當圓形的社會地位越來越高，每一代人的發展速度也會不斷加快；第二條規律是，隨著社會地位的提高，圓形的生育能力會等比下降。
因此，在一個有400條邊或500條邊的多邊形家庭裏，生育男孩是十分罕見的事情，生超過一個兒子的例子更是從來沒有。當然，如果這種家庭能夠生育男孩，那麽兒子可以比父親多出許多條邊：一個有500條邊的多邊形可以生出有550條邊，甚至有600條邊的兒子。
在高層階級中，有時可以通過一些藝術手段來提高進化的速度。高層階級的多邊形嬰兒有著短而柔軟的邊，我們的醫生發現，通過醫學手段可以將嬰兒的邊折斷，從而重塑嬰兒的整個骨架。隻要能精確地實施這種手術，一個有200或300條邊的多邊形有時——隻是有時，因為這種手術伴隨著很高的風險——可以跳過200甚至300代人，把邊數一下子翻上一倍，這樣他們的子孫的社會地位也就一下子提高了許多。
但是，這種手術的存活率還不到十分之一。許多原本很有前途的孩子就這樣夭折了。然而，這些就要躋身圓形階級的父母總是在後代身上寄托了強大的野心，幾乎所有那個階層的貴人都會在頭生子滿月之前把孩子送進“圓形新療法健身房”去接受這類手術。
這種新式療法一年見成敗。在大部分情況下，一年以後“圓形新療法健身房”的墓地中便會多出一塊墓碑來。在極少數情況下，一支歡天喜地的隊伍會在一年以後把嬰兒交還給興高采烈的父母，回到父母手中的孩子已經不再是一個多邊形，而成了一個圓形——至少人們會出於禮貌而將他們看作圓形。隻要有一個成功的例子，大量多邊形父母就會前仆後繼地送孩子去接受這種危險的手術。
每個多邊形家庭的犧牲都是相似的，但每次手術的結果卻各不相同。