一
記得大約十年前，上海風行過一種畫報，這畫報上每期刊載一頁馬浪**改行。馬浪**是一個浪**子，在上海灘上無論啥行道他都做過，一種行道失敗了，混不下去，就換一種。有一次他去當拍賣行的夥計，高高地坐在台上，一個買客，是每隻手有六根指頭的，伸著兩手表示他對某件東西出十塊錢。馬浪**見到十二根指頭，便以為他說的是十二塊，高高興興地賣了，記下賬來。到收錢的時候，那人隻出十塊，馬浪**的老板照賬硬要十二塊，爭執得無可了結，叫馬浪**賠兩塊了事，馬浪**又是一次失敗。
我常常會想起這個故事，因為我常常見到大家伸起手指頭表示他們所說的數，一根指頭表示一，兩根指頭表示二，三根指頭表示三……這非常自然。兩隻手沒有一秒鍾不跟隨著人，手指頭又是伸屈極靈便的機械，若不利用它們表數，豈不辜負了它們！
但有時我又想，我們有這十個小把戲，固然得了不少的便宜，可是我們未嚐不吃虧。人的文明大半是靠這十個小把戲產生出來的。假如我們不滿意現代的文明的話，仔細一思量，就不免要歸罪於它們了。別的不必說，假如這小把戲和小把戲中間，也和鴨兒的腳板一樣，生得有些薄皮，遊起來就便利得多。不但如此，有酒沒有酒杯的當兒，窩著手心當酒杯，也可以滴酒不漏。話雖如此，這隻是空想，在我們的生活中，有些地方便受它們的拘束。最明白而簡單的例子，就是我們的記數法。馬浪**的買客，伸出手來，既然有十二根指頭，馬浪**認他所表示的是十二，這是極合理的。伸出兩隻手表示一十，本來是因為隻有十根指頭的緣故。假如我們每個人都有十二根手指頭，當然不肯特別優待兩個，伸出兩隻手還隻表示到一十就心滿意足。
兩隻手有十根指頭，便用它們來表十，原來不過因為取攜便當，豈料這一來，我們的記數法就受到了限製，我們都隻知道“一而十，十而百，百而千，千而萬……”滿了十就進一位，我們還覺得隻有這“十進法”最便利。其實這全是喜歡利用十根手指頭反而受了它們束縛的緣故。假如你看著你的弟弟妹妹們用手指算二加二得四，你覺得他們太愚笨、太可笑。那麽，你覺得十進記數法最便利同樣是愚笨、可笑。
假如我們有十二根手指表示數，我們不是可以用十二進位記數法嗎？
假如你覺得十進法比五進法便當，你能不承認十二進法比十進法便當嗎？——自然要請你不可記著你隻有十根手指頭。
我們且先來探索一下記數法的情形，然後再看假如我們有十二根手指頭，用了十二進位法，我們的數的世界和數學的世界將有怎樣的不同。我一再說假如我們有十二根手指頭，用十二進位法，所以要如此。因為沒有十二根手指頭，就不會使用十二進位法。人隻是客觀世界的反射鏡，不能離開客觀世界產生什麽文明。
混沌未開、黑漆一團的時代，無所謂數，因為“一”雖是數的老祖宗，但倘若它無嗣而終，數的世界是無法成立的。數的世界的展開至少要有“二”。假如我們的手是和馬蹄一樣的，伸出來隻能表示“二”，我們當然隻能利用二進法記數。但二進法記數，實在有點兒滑稽。第一，我們既隻能知道二，記起數來就不能有三位；第二，在個位滿二就得記成上一位的一。這麽一來，我們除了寫一個“1”來記“一”，一個“1”後麵跟上一個零來記“二”，並排寫個“1”來記“三”，再沒有什麽能力了。數的世界不是仍然很簡單嗎？
若是我們還知道“三”，自然可以用三進法而且用三位記數，那我們可記的數便有二十六個：
1…一
2…二
10…三
11…四
12…五
20…六
21…七
22…八
100…九
101…十
102…十一
110…十二
111…十三
112…十四
120…十五
121…十六
122…十七
200…十八
201…十九
202…二十
210…二十一
211…二十二
212…二十三
220…二十四
221…二十五
222…二十六
由三而四，用四進法，四位數，我們可記的數，便有二百五十五個，數的世界便比較繁榮了。但事實上，我們並不曾找到過用二進法、三進法或四進法記數的事例。這個理由自然容易說明，數是抽象的，實際運用的時候，需要具體的東西來表出，然而無論“近取諸身，遠取諸物”，不多不少恰好可以表示，而且易於取用的東西實在沒有。我們對於數的辨認從附屬在自家身上的東西開始，當然更是輕而易舉。於是，我們首先就會注意到手。一隻手有五根指頭，五進法便應運而生了。就是在所謂二十世紀的現在，我們從“野蠻人”中——其實世上本無所謂野蠻，隻是他們的生活不需要如我們所有的文化罷了——還可以見到五進記數法的事實。本來五進記數法，用到五位，已可記出三千一百二十四個數，不用說生活簡單的“野蠻人”也已夠用。就是在我們日常生活中，三千以上的數也不大能用到，不是嗎？一塊洋錢兌三百一十二個銅元，也不過是三千一百二十個小錢，而用大單位將數記小，這點聰明，我們還是有的。你閉著眼睛想一想，你在日常生活中所用得到的數，有多少是千以上的？
既然知道用一隻手的五根指頭表數，因而產生五進記數法，進一步產生十進記數法，這對於我們的老祖宗們來說，大概不會碰到什麽艱難困苦的。兩隻手是上帝造人的時候就安排好的呀！
既然可以用十根手指頭表示數，因而產生十進法，兩隻腳也有十根趾頭，為什麽不會一股腦兒用進去產生二十進法呢？
二十進法是有的，現在在熱帶生活的人們，就有這種辦法，這種辦法隻存在於熱帶，很顯然是因為那裏的人赤著腳的緣故。像我們終年穿著襪子的人，使用腳趾頭自然不便當了。這就是十進記數法能夠征服我們的緣故。倘若我們能夠像近年來暑天中的“摩登狗兒”一樣赤著腳走，我敢預言若幹年後一定會來一次記數革命。
二十進法，不但在現在熱帶地區可以找到，從各國的數字中也可以得到很好的證明。如法國人，二十叫vingt；八十叫quatre-vingts，便是四個二十；而九十叫quatre-vingt-dix，便是四個二十加十，這都是現在通用的。至於古代，還有six-vingts，六個二十叫一百二十；quinze_vingts，十五個二十叫三百。這些都是二十進法的遺跡。又如意大利的數字，二十叫venti，這和三十trenta、四十quaranta、五十cinquanta也有著顯然的區別：第一，三十、四十、五十等都是從三tre、四quattro、五cinque等來的，而二十卻與二due無關係；第二，三十、四十、五十等的收聲都是ta，而二十的收聲卻是ti。由這些比較也可以看出在意大利也有二十進法的痕跡。
五進法、十進法、二十進法都可用指頭來說明它們的起源，但我們現在還使用的數中，卻有一種十二進法，不能同等看待。鉛筆一打是十二支，肥皂一打是十二塊，一尺有十二寸，重量的一磅有十二兩，貨幣的一先令有十二便士，乃至於一年有十二個月，一日是十二時——西洋各國雖用二十四小時，但鍾表上還隻用十二——這些都是實際上用到的。再將各國的數字構造比較一下，更可以顯然地看出有十二進法的痕跡，且先將英、法、德、意四國從一到十九，十九個數抄在下麵：
英 one two three four five six seven eight nine ten eleven twelve thirteen fourteen fifteen sixteen seventeen eighteen nineteen
法 un deux trios quatre cinqne six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize dix-sept dix-huit dix-neuf
德 eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn elf zw?lf dreizehn vierzehn fünfzehn sechzehn siebzehn achtzehn neunzehn
意 uno due tre quattro cinque sei sette otto nove dieci undici dodici tredici quattordici quindici sedici diciassette diciotto diciannove
將這四種數字比較一下，可以看出幾個事實：
（1）在英文中，一到十二，這十二個數字是獨立的，十三以後才有一個劃一的構成法，但這構成法和二十以後的數不同。
（2）在法文中，從一到十，這十個數字是獨立的。十一到十六是一種構成法，十七以後又是一種構成法，這構成法卻和二十以後的數相同。
（3）德文和英文一樣。
（4）意文和法文一樣。
原來就語言的係統說，法、意同屬於意大利係，英、德同屬於日耳曼係，淵源本不相同。語言原可說是生活的產物，由此可看出歐洲人古代所用的記數法有很大的差別。十進法、十二進法、二十進法，也許還有十六進法——中國不是也有十六兩為一斤嗎？倘使再將其他國家的數字來比較一下，我想一定還可以發現這幾種進位法的痕跡。
所以，倘若我們有十二根手指頭的話，采用十二進法一定是必然的。就已成的習慣看來，十進法已統一了“文明人”的世界，而十二進法還可以立足，那麽十二進法一定有它非存在不可的原因。這原因是什麽？依我的假想是從天文上來的，而和圓周的分割有關係。法國大革命後改用米製1，所有度量衡，乃至於圓弧都改用十進法。但度量衡法，雖經各國采用，認為極符合胃口，而圓弧法是敵不過含有十二進位的六十分法。這就可以看出十二進法有存在的必要。詳細的解說，這裏不講，我還想寫一篇關於各種單位的起源的話，在那裏再說。天文在人類文化中是出現很早的，這是因為在自然界中晝夜、寒暑的變化最使人類驚異，又和人類的生活關係最密切的緣故。所以倘使我們有十二根手指頭，采用十二進法記數，那一定沒有十進法記數立足的餘地，我們對數的世界才能真正地有一個完整的認識。
二
倘若我們用了十二進法記數，數的世界將變成一個怎樣的局麵呢？先來考察一下我們已用慣了的十進記數法是怎樣一回事，為了便當，我們分成整數和小數兩項來說。
例如：三千五百六十四，它的構成是這樣的：3564=3000+500+60+4
=3×1000+5×100+6×10+4=3×103+5×102+6×10+4
用a1，a2，a3，a4……來表示基本數字，進位的標準數（這裏就是十），我們叫它是底數，用r表示。由這個例子看起來一般的數的記法便是：在這裏有一點雖容易明白，但需注意，這就是數字a1，a2，a3……的個數，連0算進去應當和r相等，所以有效數字的個數比r少一。在十進法中便隻有1、2、3、4、5、6、7、8、9九個；在十二進法中便有1、2、3、4、5、6、7、8、9、t（10）、e（11）十一個。
為了和十進法的十、百、千易於區別，即用什、佰、仟來表示十二進法的位次，那麽，在十二進法：
我們讀起便是七仟“依”（e）佰八什“梯”（t）。
再來看小數，在十進法中，如千分之二百五十四，便是：
0.254=0.2+0.05+0.004
同樣的道理，在十二進法中，那就是：0.5te=0.5+0.0t+0.00e
我們讀起來便是仟分之五佰“梯”什“依”。
總而言之，在十進法中，上位是下位的十倍。在十二進法中，上位就是下位的十二倍。推到一般去，在r進法中，上位便是下位的r倍。
假如我們用十二進法來代十進法，數上有什麽不同呢？其實相差很小，第一，不過多兩個數字e和t；第二，有些數記起來簡單一些。
有沒有什麽方法將十進法的數改成十二進法呢？不用說，自然是有的。不但有，而且很簡便。
例如：十進法的一萬四千五百二十九要改成十二進法，隻需這樣做就成了。
照前麵說過的用t表示10，那麽便得：
十進法的14529=十二進法的84t9
讀起來是八仟四佰梯什九，原來是五位，這裏卻隻有四位，所以說有些數用十二進法記數比用十進法簡單。
反過來要將十二進法的數改成十進法的怎樣呢？這卻有兩種辦法：一是照上麵一樣用t去連除；二是用十二去連乘。不過對於那些用慣了十進數除法的人來說，第一種方法與老脾氣有些不合，比較不便當。例如要改七仟二佰一什五成十進法，那就是這樣：
上麵的方法，雖隻是一個例子，其實計算的原理已經很明白了，若要給它一個一般的證明，這也很容易。
設在r1進位法中有一個數是N，要將它改成r2進位法，又設用r2進位法記出來，各位的數字是a0，a1，a2……an_1，an，則
這個式子的兩邊都用r2去除，所剩的數當然是相等的。但在右邊除了最後一項，各項都有r2這個因數，所以用r2去除所得的剩餘便是a0，而商是anr2n?1+an-1r2n?2+……+a2r2+a1。再用r2去除這個商，所剩的便是a1，而商是anr2n?2+an-1r2n?3+……+a2。又用r2去除這個商，所剩的便是a2，而anr2n?3+an-1r2n?4+……+a3照樣做下去到剩an為止，於是就得：
三
倘若我們一直是用十二進位法記數的，在數學的世界裏將有什麽變化呢？
不客氣地說，毫無兩樣，因為數學雖是從數出發，但和記數的方法很少有關聯。若客氣點兒說，那麽這樣便很公平合理了。算理是沒有兩樣的，隻是在數的實際計算上有點兒出入。最顯而易見的就是加法和乘法的進位以及減法和除法的退位。自然像加法和乘法的九九表便應當叫“依依”表，也就有點兒不同了。例如：（24e2-t78）×143
上麵的算法（1）是減，個位2減8，不夠，從什位退1下來，因為上位的1等於下位的12，所以總共是14，減去8，就剩6。什位的e（11）退去1剩t（10），減去7剩3。佰位的4減去t，不夠，從仟位退1成16，減去t（10）便剩6。
（2）先是分位乘，3乘6得18，等於12加6，所以進1剩6。其次3乘3得9，加上進位的1得t……再用4乘6得24，恰是2個12，所以進2剩0。其次4乘3得12，恰好進1，而本位隻剩下進來的2……三位都乘了以後再來加。末兩位和平常的加法完全一樣，第三位6加2加6得14，等於12加2，所以進1剩2。
再來看除法，就用前麵將十二進法改成十進法的例子。
這計算的結果和上麵一樣，也是12401。至於計算的方法：在第一式t（10）除72商8，8乘t得80，等於6個12加8，所以從72中減去68而剩6。其次t除61商7，7乘t得70，等於5個12加10，所以從61減去5t剩3。再次t除35商4，4乘t得40，等於3個12加4，所以從35中減去34剩1。第二、第三、第四式和第一式的算法完全相同，不過第四式的被除數10是一什，在十進法中應當是12，這一點應當注意。
照這除法的例子看起來，十二進法好像比十進法麻煩得多。但是，朋友！倘若你隻是覺得是這樣，那還情有可原，倘若你認為根本就是如此，那你便是上了你的十個小寶貝的當的緣故。上麵的說明是為了你弄慣了的十進法，對於十二進法，還是初次相逢，所以不得不兜圈子。其實你若從小就隻懂得十二進法，你所記的自然是“依依”乘法表——見前——而不是九九乘法表。你算起來“梯”除七什二，自然會商八，八乘“梯”自然隻得六什八，你不相信嗎？就請你看十二進法的“依依”乘法表。
看這個表的時候，應當注意1、2、3……9和九九乘法表一樣的10、20、30……卻是一什（12），二什（24），三什（36）。
倘若和九九乘法表對照著看，你可以發現表中的許多關係全是一樣的。舉兩個例說：第一，從左上到右下這條對角線上的數是平方數；第二，最後一排第一位次第少1。在九九乘法表中9、8、7、6、5、4、3、2、1第二位次第多1。在九九乘法表是0、1、2、3、4、5、6、7、8，還有每個數兩位的和全是比進位的底數少1，在“依依”表是“依”，在九九表是“九”。
在數學的世界中除了這些不同，還有什麽差異沒有？
要搜尋起來自然是有的。
第一，四則問題中的數字計算問題。
第二，整數的性質中的倍數的性質。
這兩種的基礎原是建立在記數的進位法上麵，當然有些麵目不同，但也不過麵目不同而已。且舉幾個例在下麵，來結束這一篇。
（1）四則中數字計算問題：例如“有二位數，個位數字同十位數字的和是六，若從這數中減十八，所得的數恰是把原數的個位數字同十位數字對調成的，求原數”。
解這一種題目的基本原理有兩個：
（a）兩位數和它的兩數字對調後所成的數的和，等於它的兩數字和的“11”倍。如83加38得121，便是它的兩數字8同3的和11的“11”倍。
（b）兩位數和它的兩數字對調後所成的數的差，等於它的兩數字差的“9”倍。如83減去38得45，便是它的兩數字8同3的差5的“9”倍。
運用這第二個原理到上麵所舉的例題中，因為從原數中減十八所得的數恰是把原數的個位數字同十位數字對調成的，可知原數和兩數字對調後所成的數的差為18，而原數的兩數字的差為18÷9=2。題上又說原數的兩數字的和為6，應用和差算的法則便得：
（6+2）÷2=4——十位數字，（6-2）÷2=2——個位數字，而原數為42。
解這類題目的兩個基本原理，是怎樣來的呢？現在我們來考察一下。
這式子最後的一段中，（8+3）正是83的兩數字的和，用11去乘它，便得出“11”倍來，但這11是從10加1來的，10是十進記數法的底數。
這式子最後的一段中，（8-3）正是83的兩數字的差，用9去乘它，便得出“9”倍來。但這9是從10減去1來的，10是十進記數法的底數。
將上麵的證明法，推到一般去，設記數法的底數為r，十位數字為a1，個位數字為a2，則這兩位數為a1r+a2，而它的兩位數字對調後所成的數為a2r+a1。所以
第一原理（a）應當這樣說：
兩位數和它的兩數字對調後所成的數的和，等於它的兩數字和的（r+1）倍。r是記數法的底數，在十進法為10，故（r+1）為“11”；在十二進法為12，故（r+1）為13（照十進法說的），在十二進位法中便也是11（一什一）。
第二原理（b）應當這樣說：
兩位數和它的兩數字對調後所成的數的差等於它的兩數字差的（r-1）倍，在十進法為“9”，在十二進法為“e”。
由這樣看來，前麵所舉的例題，在十二進法中是不能成立的，因為在十二進法中，42減去24所剩的是1t，而不是18，若照原題的形式改成十二進法，那應當是：“有二位數……若從這數中減什梯（1t）……”
它的計算法就完全一樣，不過得出來的42是十二進法的四什二，而不是十進法的四十二。
（2）關於整數的倍數的性質，且就十進法和十二進法兩種對照著舉幾條如下：
（a）十進法——5的倍數末位是5或0。
十二進法——6的倍數末位是6或0。
（b）十進法——9的倍數各數字的和是9的倍數。
十二進法——e的倍數各數字的和是e的倍數。
（c）十進法——11的倍數，各奇數位數字的和，同著各偶數位數字的和，這兩者的差為11的倍數或零。
十二進法——形式和十進法的相同，隻是就十二進法說的一什一，在十進法是一十三。
上麵所舉的三項中，（a）是看了九九表和“依依”表就可明白的。（b）（c）的證法在十進法和十二進法一樣，我們還可以給它們一個一般的證法，試以（b）為例，（c）就可依樣畫葫蘆了。
設記數法的底數為r，各位數字為a0，a1，a2……an-1，an。各數字的和為S，則：
因為（rn-1）無論n是什麽正整數都可以用（r-1）除盡，所以若用（r-1）除上式的兩邊，則右邊所得的便是整數，設它是I，因而得
所以若N是（r-1）的倍數，S也應當是（r-1）的倍數，不然這個式子所表示的便不成為一個整數，等於一個整數和一個分數的和了，這是不合理的。
這是一般的證明，若把它特殊化，在十進法中（r-1）就是9，在十二進法中（r-1）便是e，由此便得（b）。
由這個證明，我們可以知道，在十進法中，3的倍數各數字的和是3的倍數。而在十二進法中，這卻不一定，因為在十進法中9是3的倍數，而在十二進法中e卻不是3的倍數。
從這些例子看起來，假如我們有十二根手指，我們的記數法采用十二進法，與用十進法記數比較起來，無論在數的世界或在數學的世界所起的變化是有限的，而且假如我們能不依賴手指表數的話，用十二進法記數還便利些。但是我們的文明，本是手的文明，又怎麽能跳出這十根小寶貝的支配呢？