新年到了，各位也許在做“擲狀元紅”的遊戲吧。好，我的話就從“擲狀元紅”開始。
一把六顆骰子擲到碗裏，它們叮當叮當地亂轉，轉到氣困力竭，碰巧出現五個六和一個五，這叫作“恨點不到頭”。真是可恨，這個名堂不過隻能到手一個狀元，若那一點到了頭，六顆骰子都是六，便算全色，就不隻到手一隻三十二注的狀元簽了。所以全六比“恨點不到頭”高貴得多。再說，若別人家跟著擲出一個名堂叫什麽火燒梅花——五個紅一個五——他就有權利把你已經到手的狀元奪去，讓你不過得到幾分鍾的空歡喜而已，所以紅又比六高貴一些。
玩骰子的朋友們，哪怕賭的不過是香簽棍，不過是小石子，輸贏也是與各人的體麵有關，所以誰都不想輸，也就誰都希望紅多，希望全六，然而它們是多麽難出現啊！
不是嗎？擲出一個紅可以到手一個秀才，擲出兩個紅可以到手一個舉人，然而偏偏總是一顆幺、兩顆幺滾出來的時候多。玩骰子的朋友，都有過這樣的經驗吧！
是什麽緣故呢？
骰子的構造就有些不可靠嗎？故意做得叫紅不容易出現嗎？
不是，不是，你想，做骰子的人，並不是靠玩骰子贏錢過活的，他何苦替別人多費這樣的心，難道還真有誰會感謝他嗎？
那麽，有神吧！
對，在咱們中國人看來，一定是這樣的：想發財，敬財神；想生兒子，敬送子觀音；想打勝仗，敬關二爺；想什麽就敬管什麽的神。玩骰子想贏，哪兒能沒有神！果真有位骰子神嗎？玩骰子的朋友，運氣不好的時候，總擲不出名堂，兩手捧著骰子拜揖，向著骰子嗬氣，這都是在求神助呀！
讀《中學生》的朋友們，大約都念過一點兒洋八股，雖然不一定相信洋上帝和紅毛耶穌，雖然深夜走到黑洞洞的墳場裏，還不免毛骨悚然，但總不願意相信什麽神鬼了。那麽，上麵的回答或許是不值一笑的。但是，不相信神固然好，事實一樣存在。若回答不出一個別的理由，硬叫別人不相信，誰肯服你！
這篇就是要離開了神權來說明這個事實。
先來一個極簡單的例子，那最好就是猜錢。
一個人在桌子上把錢旋轉起來，隨手按下去，叫你猜那錢的上麵是“麻的”還是“禿的”。這是一個小玩意兒，但也一樣可賭輸贏。
一個錢隻有兩麵，一麵麻的和一麵禿的。所以任它亂轉，結果出現麻的機會和出現禿的機會，同是偶然。在這偶然中若是隻希望麻的或隻希望禿的，那麽，達到這希望的機會都隻有一半。照數學上的說法，就是二分之一。二分之一這個數，在數學上稱為轉一個錢出現麻的麵或禿的麵的概率。
一個錢是兩麵，所以它轉動的結果，“可能”出現的不同的樣子有兩個。你指定要麻的麵或禿的麵，那麽就隻有一麵能給你“成功”。所以概率的基本原理是：一件事，在機會均等的場合，“成功數”對於“可能數”的“比”就是它的“概率”。
這個原理，有兩點應當注意：第一，就是要在機會均等的場合。有些人常說，專門放賭的人，他的骰子裏麵灌有鉛，所以贏的一麵不容易滾出，這就是機會不均等。嚴格地說，事實上的機會均等是沒有的。這正如事實上沒有真正的圓，沒有真正的直線，沒有真正的平麵一般，但這和我們討論原理、法則沒有關係。
第二點應當注意的，也可說是概率的基本性質，概率總是比1小。若等於1，那就成為必然的了，比如你將一個錢兩麵都塗上紅，要轉出紅的麵，那必然可以轉出來。
除此之外，還有一點也很重要，就是概率，我們按照理論計算出來，要在數目很大的時候才能和事實相近，實驗的次數越多，相近的程度也就越大。用一個錢轉兩三次，轉出來的也許全是麻的麵，或全是禿的麵，但若轉到一千次、一萬次、十萬次，你就可以看出麻的麵或禿的麵出現的次數，漸漸近於二分之一。賭場中有句俗話說：“久賭必輸。”這就是因為成功的概率天生就比1小，賭的次數越多，這概率越準。（這隻是大概的說法，真要討論賭業的問題，這還不夠。）
成功的概率比1小，反過來，失敗的概率也比1小，但它倆的和卻恰好等於1，這很容易想明白，用不著再說明了。
照轉錢的例子來看擲骰子：一顆骰子有1、2、3、4、5、6六麵，所以擲到碗裏“可能”出現的樣子有6。若你指定要的是紅（4），那麽成功的數隻是1，所以它的概率便是1對6的比，隻有6分之1；而失敗的數，卻是6分之5。兩個相加等於6分之6，恰好是1。你若老和別人賭紅，久賭你當然輸。你要想贏也可以，隻要你的錢多到用不盡。那麽，比如你第一次賭一個錢，你也隻想贏個對本，失敗了；第二次你就賭兩個，再失敗；第三次賭四個……總之，把以前輸的加上一倍去賭，保證有一天能把錢贏到手。然而，朋友！要緊的是你有那麽多錢，不然別人的概率是6分之5，你的隻是6分之1，結果總是要你脫了衣服押在那裏的。
譬如我們的骰子是特製的，有一麵是2，兩麵是3，三麵是4，那麽，擲到碗裏可能出現的數仍然是6，出現2的概率便是6分之1；出現3的，是6分之2，即3分之1；出現4的是6分之3——2分之1。
再舉一個例子：譬如一隻口袋裏麵隻有黑白兩種棋子，黑的數目是p，白的是q，那麽隨手摸一顆出來，這顆棋子是黑的，它的概率是p/p+q。反過來它要是白的，這概率便是q/p+q。兩個相加恰好是p+q/p+q，等於1。
看了這幾個例子，概率的概念和基本原理大概可以明了了吧！但是憑這一點簡單的原理，還不能說明我們所提出的問題，原來上麵的例子，說到錢隻有一個，說到骰子也隻講的是一顆，就是最後的例子，口袋裏棋子的數目雖沒有什麽明確的規定，這隻相當於一顆骰子所有的麵數，而我們所說到的還隻是摸出一顆黑棋子或一顆白棋子的概率。現在，我們進一步來看較複雜的例子，比如用兩個錢轉，要計算出現一個麻和一個禿的概率；又比如把兩顆骰子擲到碗裏，要計算它出現全紅的概率，以及由上麵的口袋中連摸兩顆棋子若要全是白的，我們來計算它的概率，這都較為複雜了。
暫且將這三個問題丟下，我們先來看另外的一個例題。比如，一隻口袋裏有紅、白、黑、綠四種顏色的棋子，紅的3顆、白的5顆、黑的6顆、綠的8顆，我們伸手在袋裏任意摸出一顆來，要它是紅的或黑的，這樣，它的概率是多少呢？
第一步，我們知道，這隻口袋裏麵所有的棋子總共是：
3+5+6+8=22
所以隨手摸一顆可能出現的樣子是22。
在這22顆棋子當中隻有3顆是紅的，所以摸一顆紅的出來的概率是22分之3。
同樣的道理，摸一顆黑的出來的概率是22分之6。
無論紅的出現或黑的出現，我們的目的都算達到了，所以我們成功的概率，應當是它們倆各自的概率的和，就是：
一般來說，比如那口袋裏有A1、A2、A3……種棋子，各種的數目是a1、a2、a3……那麽，摸一顆棋子出來是A1的概率便是a1/a1、a2、a3……，或是A2、A3……的概率是：a2/a1、a2、a3……，a3/a1、a2、a3……若我們所要的是某幾種中的一種出現，那麽，成功的概率就是這幾種各自出現的概率的和。
另舉一個例子，比如一隻口袋裏隻有白棋子5顆，黑棋子8顆，我們連摸兩次，第一顆要是白的，第二顆要是黑的（假如第一顆摸出仍然放回去），這個成功的概率有多少呢？
這個問題，乍看去好像和前一個沒有什麽分別，但是仔細一想，完全不同。口袋中的棋子是5加8總共13顆，所以第一次摸出白棋子的概率是13分之5，第二次摸出黑棋子的概率是13分之8，這都很容易明白。但現在的問題是：我們成功的概率是不是13分之5和13分之8的和呢？它們兩個的和恰好是1，前麵已經說過，概率總比1小，若等於1那就成為必然的了。事實上，我們的成功不是必然的，可見照前例將這兩個概率相加是謬誤。那麽，怎樣求出我們成功的概率呢？
仔細思索一下，這兩個例子，我們成功的條件雖然都是兩個，但在這兩個例子中，兩個條件的關係卻大不相同。前一個例，兩個條件——出現紅的和出現黑的——無論哪個條件成立，我們都成功。換句話說，就是“隻需”有一個條件成立就行；在這第二個例子中卻“必須”兩個條件——第一顆白的，第二顆黑的——都成立。而第一次摸出的是白子，第二次摸出的還不一定是黑子，因此，在第一個條件成功的希望當中還隻有一部分是完全成功的希望。按照上例的數字說，第一個條件的成功概率是13分之5，而第二個條件的成功的概率是13分之8。所以我們全部成功的概率，在13分之5當中還隻有13分之8，就是：
因為這兩種概率的性質絕然不同，在數學上就給它們各起一個名字，前一種叫“總和的概率”，後一種叫“構成的概率”。前一種是將各個概率相加，後一種是將各個概率相乘。前一種的性質是各個概率隻需有一個成功就是最後的成功；後一種的性質是各個概率必須全都成功，才是最後的成功。
事實上，我們所遇見的問題，有些時候，兩種性質都有，那就得同時將兩種方法都用到。假如第二個例子，不是限定要第一次是白的，第二次是黑的，隻需兩次的顏色不同就可以。那麽，第一次是白的，第二次是黑的，它的概率是5/13×8/13；而第一次是黑的，第二次是白的，它的概率是5/13×8/13。這都屬於構成的概率的計算。但無論是先白後黑，或先黑後白，我們都算成功。所以我們成功的概率，就這兩種情況說，屬於總和的概率的計算，而我們所求的數是：
概率的計算是極有趣味而又最需要小心的，對於題目上的條件不能掉以輕心，但這裏不是專門講它，所以我們就回到開始的問題上去吧！
第一，六顆骰子擲到碗裏，滾來滾去，究竟會出現多少花頭呢？關於這個問題，先得假定一個條件，就是我們能夠將六顆骰子辨別得清楚。照平常的情形，隻要擲出一顆紅，就是秀才，無論這顆紅是六顆骰子當中的哪一顆滾出來的，這樣，數目就簡單了。
依了這個假定，照排列法計算，我們總共可以擲出的花頭，應當是6的6乘方，就是46656種；但若六顆骰子完全一樣，不能分辨出來，那就隻有 7776 種了（66÷6）。
在這46656種花樣當中，出現一顆幺的概率有多少呢？我們既假定了六顆骰子是可以辨得清楚的，那麽無妨先從某一個骰子出現幺的概率來討論，因為我們隻要一顆幺，所以除了這一顆指定要它出現幺以外，都必須滾出其他的五麵來才可以成功。換句話說，就是其餘的五顆骰子必須不出現幺，照概率的基本原理，指定的骰子出現幺的概率是6分之1，其他五顆骰子不出現幺的概率每個都是6分之5。又因為最後成功需要這些條件都同時存在才行，所以這應當是構成的概率和計算法，它的概率便是：
但是，無論六顆骰子當中的哪一顆滾出幺來，都合於我們的要求，所以我們所求的概率，應當是這六顆骰子每一個出現幺的概率的總和。那就等於6個46656分之3125相加，即：
我們一看這數字差不多接近二分之一，所以這概率算是比較大的。這不足為奇，事實上我們擲六顆骰子到碗裏，總常看見有幺。
依照這個計算法，我們可以擲出兩個幺來的概率是：
照推下去，可以擲出3、4、5、6個幺的概率是：
將這六個概率一比較，可以清楚地看出來，概率依次減少，後一個總隻有前一個的1/5，而六顆幺的概率比五顆幺的隻有1/30，比一顆幺的不過13/18750。所以事實上六顆骰子擲到碗裏滾出全色的幺來是極少有的。
在理論上，一顆骰子出現1、2、3、4、5、6的機會是均等的，所以出現一顆紅的概率也是3125/7776，並不比出現一顆幺難。同樣的理由，出現五顆6或五顆紅的概率也和出現五顆幺的一樣，仍是5/7776，而全六或全紅的概率也隻有1/46656。
這就可以再進一步來看“恨點不到頭”和“火燒梅花”的概率了。它不但要五顆出現6或紅，而且還要剩下的一顆出現的是5。照通常的道理來看，這第二個條件的概率當然是1/6。但在這裏有一點要注意，1/6這個概率是由一顆骰子有六麵來的。然而就第一個條件講，已經限定是五顆6或紅，這顆就絕不能再是6或紅。因此六麵中得有一麵需先除掉，隻有五麵是合條件的，所以第二個條件的概率應當是1/5，而那兩個名堂各自出現的概率便是：
從這計算的結果，我們可以知道全色比五子出現的概率小，我們覺得它難出現，這很合理。至於把紅看得比幺高貴些，隻是一種人為的約束，並不是它比幺難出現，到此我們的問題就算解決了。
也許，還有人不滿足，因為我們所得出的隻是客觀的理論，和主觀的經驗好像不大一致。我們將骰子擲到碗裏時，滿心不願意幺出現，而偏偏常常見到的都是它。要解釋這疑團倒很容易，你隻需去試驗幾次，改過來，出現一個幺得一個秀才，出現兩顆幺得一個舉人。你就可以看出來，紅又會比幺容易出現了，這是不是因為骰子也和我們人一樣有意誌，而且習慣為難我們呢？
說骰子也有意誌，而且還習慣為難我們，這似乎太玄妙了，比有鬼神在賭場上做主宰還更玄妙些。那麽，隻好說是我們的經驗錯了！
經驗怎麽會錯呢？其實說它沒有錯，也不是不可以，這個經驗純屬主觀的罷了。我們一進賭場，哪怕是逢場作戲，並非真賭什麽輸贏，但我們總想比別人都得意。因此，我們的注意力當然隻集中到紅上麵去，它的出現就使我們感到欣喜。幺的出現是我們不希望的，所以在我們心裏，對它的感情恰好相反，因為厭惡它，仇人相見分外眼明，就覺得它常常都滾出來了。
歸結起來，我們的經驗是生根在感情上的。倘若我們能夠耐下心來，把各個數每次出現的數目都記下來，一直記到幾百千萬次，再將它們統計一下，這才是純理性的、客觀的。這個經驗一定和我們平常所得到的大相懸殊，而和我們計算的結果相近。所以科學的方法第一步是觀察和實驗，要想結果可靠，觀察者和實驗者的頭腦必須保持冷靜。如果隻根據客觀的事實記錄，毫不摻雜一點兒主觀的情感或偏見，這是極難的。許多大科學家，也常常因為自己的情感和偏見耽誤他們的事業！
在我們的日常生活中，又不能真是冷冷靜靜地過日子，每次遇見一件事都先看明白，打算清楚，再按部就班地去做。季文子要三思而後行，孔老先生已覺得他太過分了，隻說再思就可以。由此可見，我們的生活靠理性的成分少，靠直覺和情感的時候多。我們一天一天地這麽生活下來，不知不覺中已養成一個容易動感情和不能排除偏見的習慣，一旦踏進科學的領域，怎麽能不失敗呢？
像擲骰子這類玩意兒，我們可以借數字將它的變化計算出來，使我們得到一個明確的認識。但別的現象，因為它本身的繁複，以及數學和其他的科學還並沒有達到充分進步的境界，我們就沒法去得到明確的認識。因而在研究的時候，要除去情感和偏見就更不容易了。
類似於玩骰子的事，我們要舉起例來，真是俯拾即是，不勝枚舉，這裏再來隨便說幾個，以證明我們的日常生活是多麽不理性。
比如你家裏有人生了病，你正著急萬分，有一位朋友好心來看望你，他給你介紹醫生，他給你說單方。你聽他滿口說出的都是那醫生醫好了人的例和那單方的神效的奇跡。然而你信了他的話，你也許不免要倒一次大黴。你將討厭他嗎？他是好心，他和你說的也都不是欺騙的話，隻怪你不會問他那醫生，會有多少人上過那單方的當！其實，你真的去問他，他也回答不上來，他不是有意來騙你，隻是他不會注意到。
又比如前幾年，上海彩票很風行的時候，你聽那些買彩票的人，他們口裏所講的都是哪一個窮困的讀書人東拚西湊地買了一張，就中了頭彩。不然就是某個人也得了大獎，但你絕不會聽到他們說出一個因買彩票倒黴的人來。他們一點兒不知道嗎？不是的，也許他們自己就連買了好幾次不曾中過，但是這種事實不利於他們，所以不高興留意，也就不容易想起來。即使想起來了，他們總還想著即將到來的一次不會就和以前一樣。
確實，在我們的日常生活中，我們喜歡保留在記憶裏的，總是有利於我們的事實。因為這樣，我們永遠就隻會打如意算盤。會有例外嗎？那就是經過不知多少次失敗的人，簡直喪了膽，他的記憶裏，又全都是失敗的事實了。然而無論哪一種人，相同的都隻是偏見。
我們的生活是否應當完全受冷靜的、理性的支配？即使應當，究竟有沒有這樣的可能？這都是另外的問題，姑且存而不論。隻是現在已經有許多人都覺得科學重要，竭力地在鼓吹著，那麽科學的方法當然是根本的問題。別人的科學發達，並不是從地上撿來的，也沒有什麽神奇奧妙，不過是他們能夠應用科學方法去整理每天呈現在他們眼前的事象而已。
要想整理事象，第一步就必須先將那事象看得明了、透徹。偏見和感情好比一副著色的眼鏡，這副眼鏡架在鼻梁上麵，兩眼就沒法把外麵的真實色相看得清楚。所以踏進科學的領域的第一步，是觀察和實驗。在開始觀察和實驗之前，必須得先從鼻梁上將那副著色的眼鏡扯下來。這自然不是一件容易的勾當，但既然需要它，不容易也得幹！
觀察和實驗說來很簡單，隻要去看、去實驗就好了，但真能做得好，簡直可以說已踏到了科學的領域一半。即使我們真能盡量地除去主觀的成見和情感，有時因為所觀察和所實驗的範圍太窄了，也一樣得不出普遍的、近於真實的結果，容我再來跑一次野馬說一段笑話吧！
從前，有一戶人家小少爺生了病，要去請醫生，因為他們家的丫頭的眼睛能夠看得見冤鬼，主人便差了她出去。臨出門時，囑咐她看見那醫生的後麵跟著的冤鬼最少的，便請來。她到街上走來走去果然看見了一位背後隻跟著一個冤鬼的醫生，便請了回家，並且將她看見的情形背著醫生告訴了主人。主人非常高興，對那位醫生十二分地尊敬，和醫生談了不少的話，最終問他行了幾年醫，他的回答是：“今天上午剛開始，隻醫過一個人。”
朋友！這笑話有趣嗎？我們研究科學的時候，最痛苦的是沒有可以看清冤鬼的眼睛，但即使有，就不會錯嗎？
寫這篇的意思，原不過是想說明在日常生活中，我們容易被眼前的事實欺騙，將真實的事象掩蓋。因為說起來一時覺得方便，就借了擲骰子來舉例。寫到這裏覺得這有個大缺點，就是前麵說的，都不是觀察和實驗的結果，隻是一種原理的演繹。倘使真有人肯將六個骰子丟在碗裏擲，擲過幾十萬次，每次的情形都記錄下來，在研究上，那個材料比這單從理論推演而來的更有意義些。
自然，我不是說前麵的推論還有什麽可懷疑的地方，必須要有觀察和實驗的結果來客串鏢師！倘若我們真要研究別的問題的時候，最好還是先從觀察和實驗的功夫做起。依靠現成的理論來演繹，一不小心，我們所依靠的理論就先統治著我們，成為我們的著色的眼鏡，不是嗎？在科學的研究中，歸納法比演繹法更重要啊！
什麽是歸納法，下次再談吧！