（初中數學華師版七年級下冊）
執教者：沙坪壩區回龍壩鎮初級中學校 劉智慧
一、情境導入
（教師用多媒體展示圖片）師：同學們請欣賞奧運會的遊泳館水立方，在它的外牆上，出現了我們熟悉的由三條線段組成的三角形，還出現了由多條線段組成的其他平麵圖形，我們把這種圖形稱為多邊形。那麽，什麽是多邊形？
二、課堂學習
請同學們打開課本，閱讀教材第83頁至84頁第二自然段，勾畫出多邊形及有關概念的關鍵詞，並觀察水立方的外牆上出現了哪些多邊形。（學生自學教材，結合圖形理解多邊形的概念）
生：水立方的外牆上出現了三角形、四邊形、五邊形、六邊形……
師：多邊形在我們生活中被應用得如此豐富，那麽今天我們就來研究多邊形，先來研究多邊形的內角和。（板書課題：§9.2多邊形的內角和）
師：在前麵的學習中，你已經知道哪些多邊形的內角和？（導學精要問題1）
生：我知道三角形的內角和為180°。
生2：我知道長方形的內角和為360°。
生3：我知道正方形的內角和為360°。
生4：我知道平行四邊形的內角和為360°。
生5：我知道梯形的內角和為360°。
師：以上特殊四邊形的內角和都是360°，那任意四邊形的內角和等於多少度？請獨立思考，利用導學精要問題2中的圖形來計算說明。（導學精要問題2）
師：請同學們小組內交流，說說你得到的任意四邊形的內角和為多少度？你是怎麽得到的？（學生小組內交流，教師深入小組，收集學生中不同的解決問題的方法，組織學生交流展示方法，並歸納總結思想方法）
師：現在請小組代表上台為我們作圖講解，說說你們小組得到的任意四邊形的內角和是多少度？你們小組是怎樣得到的？（小組派代表上黑板作圖講解有以下方法）
上圖對應答案依次為：
180°×2=360° 180°×4-360°=360°
180°×4-360°=360° 180°+360°-180°=360°
生1：我們小組計算得出任意四邊形的內角和為360°。我們連接四邊形的對角線AC，把這個四邊形分成了兩個三角形，我們知道一個三角形的內角和為180°，兩個三角形的內角和就等於180°×2=360°，所以這個任意四邊形的內角和就為360°。
師：大家讚成嗎？請問你連接對角線AC的目的是什麽？
生1：我們的目的是把這個四邊形分成兩個三角形。
師：這兩個三角形的內角跟這個四邊形的內角有什麽關係呢？
生1：這兩個三角形的每個內角都屬於這個四邊形的內角，我們就能根據三角形的內角和求出四邊形的內角和。
師：同學們還有不同作法嗎？
另一個小組學生上台展示：
生2：我們小組是連接對角線AC、BD交於點O，把這個四邊形分成了四個三角形，所以就用180°×4。
師追問：為什麽是180°×4呢？
生2：因為我們把它分成了四個三角形，每個三角形的內角和是180°，四個三角形就是180°×4，還要減去360°。
師繼續追問：減去的360°是哪幾個角？標注出來，為什麽要減去這幾個角？
生2：這四個角是三角形的內角但它不屬於四邊形的內角所以要減掉。
師：同學們還有不同作法嗎？
生3：我們小組是在四邊形內部任意取一點O，然後聯結四邊形的四個頂點，把這個四邊形分成了四個三角形，每個三角形的內角和為180°，四個三角形就是180°×4，但要減去中間的這四個角，因為它們是三角形的內角，但不屬於四邊形的內角，它們剛好圍成一個周角，所以就減去360°，這樣我們就求出任意四邊形的內角和為360°。
師：你的方法跟方法二有什麽異同之處？
生3：第二種方法是連接對角線AC、BD交於點O，我們這種方法是在四邊形內任意取一點O。
師：第二種方法其實是三種方法的一種特例。
師：剛才第一組、第二組和第六組的同學們都表現得很好，其他組的同學還有沒有不同作法呢？
生4：我們小組是過點D，作DE∥AB交BC於點E，把四邊形分成了一個三角形和一個梯形。
師：你們小組是怎麽想到把四邊形分割成三角形和梯形的？
生4：因為我們以前學過梯形的內角和為360°，剛才的同學都是用求三角形的內角和的方式，我想嚐試一下運用梯形的內角和來求出四邊形的內角和。
師：你們小組的這種想法真棒！請繼續為我們講解。
生4：一個三角形的內角和為180°，一個梯形的內角和為360°，就有180°+360°，但我們要減去頂點E這裏的一個平角180°，所以最後求出四邊形的內角和為360°。
師：讚成不？還有其他方法嗎？
師：（1）我們作輔助線時，有的是在四邊形頂點處取一點，有的在內部取一點，連接各頂點，分成三角形，求四邊形的內角和.那麽可不可以在四邊形的一邊上任取一點呢？在四邊形外部任取一點呢？
（2）我們可以過點D作AB的平行線，把四邊形分割成三角形和梯形來解決問題，又可不可以過點C作平行線呢？作高呢？
（3）前幾種方法都是把任意四邊形分割成熟悉的圖形，我們把它補成一個熟悉的圖形又能不能解決問題呢？
（使學生明確：輔助線的做法多種多樣，這“一點”可以是平麵內任意的一點，“割”或“補”的方法都可以嚐試。隻要把四邊形的內角和轉化成已經知道內角和的圖形，就能求出其內角和）
（4）像這樣把要求的四邊形的內角和轉化成已經知道內角和的圖形來解決，把未知轉化為已知，就是數學中非常重要的思想方法——轉化。
（板書：轉化）
師：對比以上幾種方法，你認為哪種更簡便？為什麽？
生：第一種方法最簡便。
生1：它作的輔助線最少。
生2：它分成的三角形個數最少。
生3：它分成的三角形的每個內角都屬於四邊形的內角，使計算簡便。
師：現在你能用從多邊形的一個頂點出發，聯結與其不相鄰的各頂點，分成三角形的方法，去求五邊形、六邊形、七邊形等的內角和嗎？請利用導學精要問題3中的圖形來計算並填表。（此為導學精要問題3）
（學生先獨立探究，教師對有困難的學生給予及時地指導，然後組織學生展示、交流各自的思考方法與結果）
師：現在哪個小組的同學來為我們展示探索結果呢？（展台投影展示講解）
生：我們通過畫圖可以看出四邊形被分成了兩個三角形，五邊形被分成了三個三角形，六邊形被分成了四個三角形，七邊形被分成了五個三角形，每個三角形的內角和為180°，所以我算出了這幾個多邊形的內角和，我還發現多邊形被分成的三角形個數比它的邊數少2，所以n邊形將被分成（n-2）個三角形，內角和可以表示為（n-2）×180°。
師：大家讚成嗎？還有什麽疑問？
師：（1）這就是n邊形的內角和計算公式。
板書：n邊形的內角和等於（n-2）×180°。
在這裏n表示什麽？所以我們隻要知道了多邊形的邊數，就能求到它的內角和；反之，隻要知道了多邊形的內角和，運用這個公式建立一個方程，我們就能求出這個多邊形的邊數。
（2）我們求五邊形、六邊形、七邊形的內角和都是類比四邊形的方法來解決的，這也是數學中常用到的研究方法——類比（板書：類比）。
（3）我們探究多邊形的內角和時，是先從特殊的三角形、四邊形、五邊形等出發，從而得出n邊形的內角和。這是我們探索數學問題經常常用的“從特殊到一般”的思想方法（板書：從特殊到一般）。
師：請大家閱讀教材第85頁至86頁內容，勾畫出多邊形的內角和計算公式，作好筆記，並加以理解和記憶。
師：剛才大家從特殊的多邊形再到一般的n邊形，類比四邊形將未知問題轉化為已知問題探究得出了多邊形的內角和計算公式，你能運用公式解決相關問題嗎？請完成導學精要中學習反饋的內容。
（學生獨立思考、計算，然後交流各自的解題過程）
師：請你來說說第1小題的做法。
生1：十二邊形的內角和為1800°，正十二邊形的每個內角的度數為125°。
師：大家讚成嗎？
生：不讚成。
師：說說你是怎麽求正十二邊形的每個內角度數的？
生1：用十二邊形的內角和為1800°除以它的邊數十二。
師：為什麽要除以12？
生1：因為正十二邊形有12個內角，而且每個內角度數相等，所以就用內角和1800°除以12。
師：方法是正確的，肯定是計算出了問題，我們來看看他的計算過程。
（展台投影計算過程，學生自己找出計算失誤的地方，強調計算要仔細）
師：誰願意來展示第2題？
生：我們求到了四邊形的內角和為360°，所以有150+80+2x=360，計算得出x=65，四邊形的內角和為360°，所以有150+80+2x=360，計算得出x=65。
五邊形的內角和為540°，所以有160+90+110+3x=540，計算得出x=60。
師：第3題呢？
生：我運用多邊形的內角和公式，建立了方程（n-2）×180=1440，從而求到n=10。
師：同學們讚成嗎？做對的舉手。
師：回憶本節課的學習內容，談談你有哪些收獲、體會或疑問？
生1：我知道了n邊形的內角和等於（n-2）×180°。
生2：我學到了轉化的思想方法。
生3：我還學會了類比的思想方法。
生4：我學會了用多種方案來解決問題。
生5：小組在一起學習可以收獲到更多的解題方法，使我體會到了小組在一起學習是一件很愉快的事情。
三、課堂小結
生：自我小結。
師：今天我們從水立方的外牆上發現了多邊形，然後又運用“轉化”、“類比”的思想方法求到了四邊形、五邊形、六邊形等的內角和，再“從特殊到一般”歸納得出了n邊形的內角和計算公式，收獲很大。但最令老師感動的是，大家解決問題的時候積極思考，小組合作時的凝心聚力、互幫互助、取長補短！今天我們探索了“多邊形的內角和”，那“多邊形的外角和”又有什麽奧秘呢？期待下節課大家更為精彩的發現！
【教學點評】
本節課教師遵循“先學後教，互助展評”的原則，努力體現以學生的學習為本、以學生的發展為本的學本教學理念，師生關係民主和諧，學生主體作用發揮充分，小組之間、生生之間、師生之間形成良好的思維互動，課堂煥發出生命的活力。具體表現在以下三個方麵：
一、巧設問題，激活學生思維
本節課學生的思維得到最大程度的激活，學生在自學、互學、展學過程中始終處於憤悱狀態。這一學習效果得益於學習主問題的精準設計，全課學習中學生主要循序漸進地解決了這樣三個問題：在前麵的學習中，你已經知道哪些多邊形的內角和？任意四邊形的內角和等於多少度？你能求出五邊形、六邊形、七邊形等的內角和嗎？這三個問題中，問題1和問題3是解決主問題的輔助性問題和延伸性問題，問題2是主問題。這三個問題以學習探究多邊形的內角和為主線環環相扣，問題1——在前麵的學習中，你已經知道哪些多邊形的內角和？由學生已有的知識確定學生本節課學習的起點，在學生思維的最近發展區引出問題。2——任意四邊形的內角和等於多少度？是本節課的核心問題，教師組織學生有效自學、互學、展學，充分暴露學生的思維過程，由此突出重點突破難點。在問題2解決的基礎上，適時類比四邊形的解決方法，引出問題。3——從特殊入手得出一般多邊形的內角和計算公式。全課以一個主問題統領兩個輔助問題，貫穿全課的自學、互學與展學全過程，為學生搭建起層層遞進的學習階梯，激發學生無窮的思維之源，使課堂充滿濃厚的生長氣息。
二、重視展學，彰顯課堂精彩
學本教學的精彩來自於學生個體、學習小組學習的精彩，來自於學生思維過程的精彩，來自於課堂生命成長的精彩。這些學生個體、學習共同體的精彩要以一定的形式呈現，成為課堂學習的資源，展學是課堂精彩分享不可或缺的形式和過程。本節課的教學學生精彩的展學過程充分展現出了數學課堂生長之美，例如，當學生在解決主問題2“任意四邊形的內角和等於多少度？”時，學生經曆了充分的獨立思考、小組交流後的展學過程中，學生結合圖形有理有據地講解了四種不同的思維方法：
得出了四種計算四邊形內角和的四個算式：180°×2=360°，180°×4-360°=360°，180°×4-360°=360°，180°+360°-180°=360°學生在這些方法的啟發下，進而還產生了“在四邊形的一邊上任取一點、在四邊形外部任取一點”作輔助線，將四邊形分割成不同三角形來計算四邊形內角和的方法。這個學習過程不僅僅是學生個體，或學習小組學習成果的再現，更重要的是營造了良好的課堂思維場，使大家在展現自己的思維過程的同時，積極吸納別人的思維方法，改造自己的思維，進而產生新的解決問題的思維方法，給我們呈現出了一個實實在在看得見的生長課堂，能在課堂上身臨其境的親耳聆聽到學生思維成長拔節之聲。
三、適時領學，提升思維品質
導學是提升學本教學課堂學習深度的保障。上述教學過程，教師有效的導學促進了學生高效的深度自學、互學、展學。例如，在學生展學過程中，教師通過不停追問，促使學生對自己的方法進行梳理、歸納和提煉，既找出自己計算四邊形內角和的方法特點，又和別的方法相對比找出區別和聯係。當第一種方法展示後，教師及時追問“你連接對角線AC的目的是什麽呢？”的問題，想挖掘出學生的思維根源，學生回答“把四邊形分成了兩個三角形”，接著繼續追問“兩個三角形的內角與四邊形的內角有什麽關係呢”？學生回答“每個三角形的內角都是四邊形的內角，每個三角形的內角和是180°，兩個三角形的內角和就等於180°×2=360°”，引導學生將算法背後的思維過程完全暴露出來。又例如在第四個學生展示後，教師再一次提出了一個追問“同學們都把四邊形分成三角形或梯形，都是把它分割開的，那我們可不可以通過一種方法把它補成一種我們熟悉的圖形呢？”把學生的學習研究視野擴展。由於有展學過程中關鍵性的追問，學生的思維隨時處於被整理有序的狀態，所以最後得出概括性的學習結論：“隻要把這個四邊形分割或補成我們熟悉的圖形，就能解決四邊形的內角和，我們可以作輔助線，轉化為已知內角和的圖形來解決，這就是利用了數學中的轉化的思想方法。”有效讓學生超越具體計算方法，上升到數學思想方法的高度去認識和理解各種不同的方法，凸顯數學課堂的學科本質，有效地增加了課堂學習的深度和厚度。教師通過有效的導學，引導學生思考分析問題解決問題的思路與方法，不僅讓學生學會陳述性知識，更讓學生學會程序性知識，不僅知道是什麽，還知道怎麽做，尤其是怎麽想。
引導學生從多角度思考問題，尋求解決問題的多種途徑，並優化解決問題的方法和策略，拓展了學生思維的深度和廣度。
總之，本節課麵向全體學生，麵向學生的各個方麵，重難點知識落實到位，學生當堂檢測通過率高，有效達成知識與技能目標，恰當地滲透了數學的基本思想方法，積累了基本的數學活動經驗，使不同程度的學生在過程與方法以及情感、態度、價值觀等方麵都獲得發展。