"各位老師，我們仔細分析了題目和黃國棟同學的解法，發現了一個關鍵的邏輯漏洞。黃國棟同學在證明過程中假設z= x+ iy，其中x和y都是實數。但是，題目中並沒有明確說明z必須是直角坐標形式。
事實上，如果我們考慮z的極坐標形式z= re^(iθ)，其中0≤ r≤ 1，0≤θ 2π，我們可以得到一個更精確的結果。
e^z+ e^(-z)= e^(re^(iθ))+ e^(-re^(iθ))
利用泰勒級數展開，我們可以得到：
e^z+ e^(-z)= 2+ r^2cos(2θ)+ O(r^4)
這個結果表明，當|z|很小時，|e^z+ e^(-z)|≈ 2，而不是像黃國棟同學證明的那樣接近2cosh(|z|)。
更進一步，我們可以利用Joukowsky變換和最大模原理來嚴格證明，對於|z|≤ 1，有：
|e^z+ e^(-z)|≤ 2
這個上界比2cosh(|z|)更緊，因為對於所有|z|≤ 1，都有2≤ 2cosh(|z|)。
因此，我們認為原題的結論雖然正確，但不是最優的。最優的不等式應該是|e^z+ e^(-z)|≤ 2。"
“所以，答案，其實是存在一定問題的。”
“如果非要說的話，結論不準確，甚至是無解的。”
周群的解釋讓在場的所有人都陷入了沉思。
他不僅指出了黃國棟解法的局限性，還提供了一個更深入、更精確的分析。
黃國棟聽完，臉色鐵青。
他沒想到周群不僅指出了他們解法的不足，還提出了一個更強的結論。
清華大學的秦教授突然開口了："周群同學，你們的分析非常深刻。能否再詳細解釋一下，你是如何想到要用極坐標和Joukowsky變換的？"
周群正準備回答，黃國棟卻像是被踩到了尾巴一樣跳了起來。"等等！"他大聲喊道，"我不同意！我明明證明出來了。你說的無解是偽命題。"
“這違背了競賽的初衷。”
所有人的目光都集中在了黃國棟身上。
他深吸一口氣，努力控製自己的情緒。
周群微微皺眉，平靜地回答："黃國棟同學，數學競賽的目的不僅僅是解決問題，更重要的是培養我們深入思考的能力。如果發現了更精確的結論，我認為我們有責任指出來。"
黃國棟冷笑一聲："嗬，說得好聽。你這分明就是在炫耀自己懂得多！難道我的答案不對嗎？"
現場的氣氛瞬間變得劍拔弩張。
其他同學麵麵相覷，不知該如何是好。
林詩雨站了出來，試圖緩解緊張氣氛："大家別激動，我們應該關注在數學本身，而不是......"
但她的話還沒說完，就被黃國棟打斷了："林詩雨，你就別幫他說話了！你們兩個串通好的是吧？故意想出風頭？"
這話一出，現場頓時一片嘩然。周群的眼中閃過一絲怒意，但很快就平靜下來。
他深吸一口氣，直接開口狠狠回懟黃國棟，竟然敢用這種語氣跟自己的詩雨說話。
真以為自己算個什麽玩意呢。
“什麽東西。憑你也配用這種口氣對詩雨說話。”
“不要以為這裏是你們一中。”
“真不要B臉的玩意。”
“告訴你，再這樣說話，我直接給你兩耳光信不信。”
“不要以為老師在這我就不敢動手。”
周群此言一出，在場的人都驚呆住了。
他們沒想到一向溫和的周群會有如此強烈的反應。
林詩雨聽到周群的話，先是一驚，隨即臉上泛起了淡淡的紅暈。
她的心跳突然加快，既為周群的反應感到緊張，又因他如此護短而暗自欣喜。
她下意識地伸手想拉住周群的衣袖，卻又在半空中停住，不知該如何是好。
現場的導師們反應各異。有人皺眉不悅，顯然對這種情緒失控感到不滿。
有人若有所思，仿佛在評估這兩個年輕人的潛力；還有人眼中閃過一絲讚許，似乎欣賞周群的血性。
在後排觀察的林國棟聽到周群的話，先是一愣，隨即眼中閃過一絲驚訝，繼而嘴角微微上揚。他輕聲自語："這小子，倒是挺有血性。"
林國棟的目光在周群和女兒之間來回掃視，心中暗自點頭，"能這樣護著詩雨，倒也不錯。"
就在氣氛劍拔弩張之際，樂組長終於回過神來，快步走到兩人中間。
他的聲音嚴厲中帶著一絲無奈："夠了！黃國棟同學，你的言辭太過分了！"樂組長轉向黃國棟，眉頭緊鎖，"在學術討論中，我們應該互相尊重，而不是人身攻擊。你這樣的行為，嚴重違反了比賽規則！"
黃國棟被這一通訓斥，臉色由紅轉白再轉青，嘴唇顫抖著想要辯解，卻又不敢頂撞老師，隻能悻悻地低下頭。
這時，清華大學的秦教授也緩緩站起身來。
他輕咳一聲，吸引了所有人的注意力。秦教授的聲音溫和但充滿威嚴："各位同學，讓我們冷靜一下，回到題目本身。"
他頓了頓，目光掃過在場每一個人，"其實，這道題目的設計初衷，正是為了考察大家的多角度思維能力。"
秦教授的話如同一盆冷水，澆滅了現場的火藥味。
周群慢慢放鬆了緊繃的身體，但目光依然警惕地盯著黃國棟。
林詩雨這才鼓起勇氣，輕輕拉了拉周群的衣袖，低聲說："沒事的，別生氣了。"周群深吸一口氣，對林詩雨露出一個安慰的笑容。
樂組長見狀，清了清嗓子說道："好了，同學們。這次的討論到此為止。接下來，我們將進入下一個環節......"
雖然爭端暫時平息，但所有人都感覺到，這場較量遠未結束。
空氣中仿佛還彌漫著一觸即發的火藥味，周群和黃國棟之間的矛盾，恐怕會在接下來的比賽中繼續升級。
而在觀眾席上，林國棟若有所思地看著這一幕。
他的目光在周群和女兒林詩雨之間來回掃視，心中對周群的看法又有了新的改變。