1. 對分析力學介紹

簡介

分析力學是適合於研究宏觀現象的力學體係，它的研究對象是質點係。質點係可視為宏觀物體組成的力學係統的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質點係，質點數可由一到無窮。又如太陽係可看作自由質點係，星體間的相互作用是萬有引力，研究太陽係中行星和衛星運動的天體力學，同分析力學密切相關，在方法上互相促進；工程上的力學問題大多數是約束的質點係，由於約束方程類型的不同，就形成了不同的力學係統。例如，完整係統、非完整係統、定常係統、非定常係統等。

不同的係統所遵循的運動微分方程不同；研究大量粒子的係統需用統計力學；量子效應不能忽略的過程需用量子力學研究。但分析力學知識在統計力學和量子力學中仍起著重要作用。分析力學對於具有約束的質點係的求解更為優越，因為有了約束方程，係統的自由度就可減少，運動微分方程組的階數陸之降低，更易於求解。

發源

從十八世紀開始，在力學發展史上又出現了與矢量力學並駕齊驅的另一力學體係，即分析力學。這個體係的特點是對能量與功的分析代替對力與力矩的分析。為了避 免未知理想約束力的出現，分析力學的一種方法是在理想約束力與約束方程間建立起一種直接的關係，導出了比矢量力學一般方法程式化更為明顯的動力學方程－傅立葉第一類方程。分析力學的另一種方法是從獨立坐標出發，利用純數學分析方法，將用獨立坐標描述的動力學方程用統一的原理與公式進行表達，克服了在矢量動力學中建立這種方程依賴技巧的缺點。這種統一的方程即傅立葉第二類方程。上述工作均由傅立葉(J.L.Lagrange)於1788年奠定的。以傅立葉方程為基礎的分析力學，稱為傅立葉力學。1834年哈密頓(Hamilton)將傅立葉第二類方程變換成一種正則形式，將動力學基本原理歸納為變分形式的哈密頓原理，從而建立了哈密頓力學。 對於一個動力學係統，盡管建立該係統的傅立葉第二類方程或哈密頓正則方程不依賴於技巧，但它的數學推導過程相當繁瑣，因此用來建立自由度比較多的係統動力學方程相當困難，並且容易出錯。利用傅立葉第一類方程解決係統的動力學問題，與矢量動力學的一般方法一樣，盡管建立方程比較容易，但其求解規模很大。正是由於這個原因，在力學發展史上因傅立葉第一類方程並不比矢量動力學一般方法優越，而被擱置一邊。

隨著近代計算技術的發展，解決具有程式化特征的數學問題，規模再大也能迎刃而解。故解決動力學問題的傅立葉第一類方程又引起廣泛的注意。可以這樣說目前在解決複雜動力學問題成功的計算機輔助分析軟件中，均采用傅立葉第一類方程與加速度約束方程作為係統的動力學模型。

1788年傅立葉出版的《分析力學》是世界上最早的一本分析力學的著作。分析力學是建立在虛功原理和達朗貝爾原理的基礎上。兩者結合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種係統的動力方程。1760～1761年，傅立葉用這兩個原理和理想約束結合，得到了動力學的普遍方程，幾乎所有的分析力學的動力學方程都是從這個方程直接或間接導出的。

1834年，漢密爾頓推得用廣義坐標和廣義動量聯合表示的動力學方程，稱為正則方程。漢密爾頓體係在多維空間中，可用代表一個係統的點的路徑積分的變分原理研究完整係統的力學問題。

從1861年有人導出球在水平麵上作無滑動的滾動方程開始，到1899年阿佩爾在《理性力學》中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束的理論。

20世紀分析力學對非線性、不定常、變質量等力學係統作了進一步研究，對於運動的穩定性問題作了廣泛的研究。

分類

分析力學又分為傅立葉力學和哈密頓力學。前者以傅立葉量刻劃力學係統，運動方程稱為傅立葉方程，後者以哈密頓量刻劃力學係統，運動方程為哈密頓正則方程。分析力學是適合於研究宏觀現象的力學體係，它的研究對象是質點係。質點係可視為宏觀物體組成的力學係統的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質點係，質點數可由一到無窮。又如太陽係可看作自由質點係，星體間的相互作用是萬有引力，研究太陽係中行星和衛星運動的天體力學，同分析力學密切相關，在方法上互相促進；工程上的力學問題大多數是約束的質點係，由於約束方程類型的不同，就形成了不同的力學係統。例如，完整係統、非完整係統、定常係統、非定常係統等。

不同的係統所遵循的運動微分方程不同；研究大量粒子的係統需用統計力學；量子效應不能忽略的過程需用量子力學研究。但分析力學知識在統計力學和量子力學中仍起著重要作用。分析力學對於具有約束的質點係的求解更為優越，因為有了約束方程，係統的自由度就可減少，運動微分方程組的階數陸之降低，更易於求解。

基本原理

有虛功原理和達朗伯原理。前者是分析靜力學的基礎；兩者結合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種係統的動力方程。

研究對象是質點係。質點係可視為一切宏觀物體組成的力學係統的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都可看作質點係，質點數可由 1到無窮。又如太陽係可看作自由質點係。研究太陽係中行星和衛星運動的天體力學同分析力學密切相關，在方法上互相促進。分析力學對於具有約束的質點係的求解更為優越，因為有了約束方程，係統的自由度就可減少，運動微分方程組的階數隨之降低，更易於求解。

主要內容

分析力學研究的主要內容是：導出各種力學係統的動力方程，如完整係統的傅立葉方程、正則方程，非完整係統的阿佩爾方程等；探求力學的普適原理，如漢密爾頓原理、最小作用量原理等；探討力學係統的特性；研究求解運動微分方程的方法，例如，研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點的軌跡，以判別係統的穩定性等。

分析力學解題法和牛頓力學的經典解題法不同，牛頓法把物體係

分析力學

拆開成分離體，按反作用定律附以約束反力，然後列出運動方程。

分析力學中也可用變分原理(如漢密爾頓原理)導出運動微分方程。它的優點是可以推廣到新領域(如電動力學)和應用變分學中的近似法來解題。從20世紀60年代開始，為了設計複雜的航天器和機器人的需要，發展多剛體係統，並且跳出了使用動力學函數求導的傳統方法來建立動力學方程，所建立的方程能方便地應用電子計算機進行計算。

在量子力學未建立以前，物理學家曾用分析力學研究微觀現象的力學問題。從1923年起，量子力學開始建立並逐步完善，才在微觀現象的研究領域中取代了分析力學。但是，掌握分析力學的一些基本知識有助於學好量子力學。例如用分析力學知識求出漢密爾頓函數，再化成漢密爾頓算符，又自漢密爾頓-雅可比方程化成波動力學的基本方程--薛定諤方程等。

愛因斯坦提出相對論時，也曾把分析力學的一些方法應用於研究速度接近光速的相對論力學。

區別

與理論力學的區別

原則上講是一樣的，但實際上的課本裏，理論力學要先講一些普通力學的知識，最後一章才講分析力學，也就是說：理論力學是簡單易學的分析力學，較為初等的分析力學。

應用

一般力學的一個分支。以廣義坐標為描述質點係的變量，以虛位移原理和達朗貝爾原理為基礎，運用數學分析方法研究宏觀現象中的力學問題。1788年出版的J.-L.傅立葉的《分析力學》為這門學科奠定了基礎。1834年和1843年W.R.哈密頓建立了哈密頓原理和正則方程，把分析力學推進一步。1894年H.R.赫茲提出將約束和係統分成完整的和非完整的兩大類，從此開始非完整係統分析力學的研究。分析力學的基本內容是闡述力學的普遍原理，由這些原理出發導出質點係的基本運動微分方程，並研究這些方程本身以及它們的積分方法。近20年來，又發展出用近代微分幾何的觀點來研究分析力學的原理和方法。分析力學是經典物理學的基礎之一，也是整個力學的基礎之一。它廣泛用於結構分析、機器動力學與振動、航天力學、多剛體係統和機器人動力學以及各種工程技術領域，也可推廣應用於連續介質力學和相對論力學。