簡介
傅裏葉分析Fourier analysis 分析學中18世紀逐漸形成的一個重要分支，主要研究函數的傅裏葉變換及其性質。又稱調和分析。
詳細信息
法國科學家J.-B.-J.傅裏葉由於當時工業上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中，發展了熱流動方程，並指出了任意周期函數都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴格的論證，但對近代數學以及物理、工程技術卻都產生了深遠的影響，成為傅裏葉分析的起源。
由三角函數係｛cos nx,sin nx｝ (n=0,1,2,…)組成的無窮級數 稱為三角級數,其中αn,bn為係數，與x無關。若級數(1)對於一切x收斂，它的和記為?(x)：
則?(x)是一個具有周期2π的周期函數。上式兩邊分別乘以cos nx或sin nx，並且在(0,2π)上同時積分，就得到公式 上麵的運算是形式的，因為符號Σ與積分的交換缺乏根據。為了保證上述運算的正確性,應當對級數(1)的收斂性加以必要的限製,例如一致收斂性等。但是,上麵提供的純形式運算,卻提出了一個很有意義的問題:如果?(x)是一個給定的以2π為周期的周期函數,通過(3)可以得到一列係數αn,bn,從而可構造出相應的三角級數(1)。這樣得到的三角級數(1)是否表示?(x)？正是傅裏葉,他首先認為這樣得到的級數(1)可以表示?(x)。
給定?(x)，利用(3)得到的三角級數(1),稱為?的傅裏葉級數,而稱(3)為?的傅裏葉係數。這種思想可以推廣到任意區間上的正交函數係。特別,(n=0,±1，±2,…)是［0,2π］上的規範正交函數係，函數?關於它的傅裏葉級數為稱為? 的傅裏葉級數的複形式。
發展概況
傅裏葉分析從誕生之日起,就圍繞著"?的傅裏葉級數究竟是否收斂於 ?自身"這樣一個中心問題進行研究。當傅裏葉提出函數可用級數表示時，他的想法還沒有得到嚴格的數學論證，實際的情形人們並不清楚。P.G.L.狄利克雷是曆史上第一個給出函數?(x)的傅裏葉級數收斂於它自身的充分條件的數學家。他的收斂判別法,後稱為狄利克雷-若爾當判別法。他證明了在一個周期上分段單調的周期函數?的傅裏葉級數,在它的連續點上必收斂於?(x)；如果?在x點不連續，則級數的和是(?(x+0)+?(x-0))/2。順便指出，狄利克雷正是在研究傅裏葉級數收斂問題的過程中，才提出了函數的正確概念。因為在他的判別法中，函數在一個周期內的分段單調性，可能導致該函數在不同區間上的不同解析表示，這自然應當把它們看做同一個函數的不同組成部分，而不是像當時人們所理解的那樣，認為一個解析表達式就是一個函數。
（G.F.）B.黎曼對傅裏葉級數的研究也作出了貢獻。上麵說過，確定?的傅裏葉係數，要用到積分式(3)。但是人們當時對積分的理解還不深入。黎曼在題為《用三角級數來表示函數》(1854)的論文中，為了使得更廣一類函數可以用傅裏葉級數來表示，第一次明確地引進並研究了現在稱之為黎曼積分的概念及其性質，使得積分這個分析學中的重要概念，有了堅實的理論基礎。他證明了如果周期函數?(x)在［0,2π］上有界且可積，則當n趨於無窮時? 的傅裏葉係數趨於0。此外，黎曼還指出，有界可積函數?的傅裏葉級數在一點處的收斂性,僅僅依賴於?(x)在該點近旁的性質。這個非常基本而重要的結果稱之為局部性原理。
G.G.斯托克斯和 P.L.von賽德爾引進了函數項級數一致收斂性的概念以後，傅裏葉級數的收斂問題進一步受到了人們的注意。H.E.海涅在1870年的一篇論文中指出，有界函數?(x)可以唯一地表示為三角級數這一結論，通常采用的論證方法是不完備的，因為傅裏葉級數未必一致收斂，從而無法確保逐項積分的合理性。這樣，就可能存在不一致收斂的三角級數，而它確實表示一個函數。這就促使G.（F.P.）康托爾研究函數用三角級數表示是否唯一的問題。這種唯一性問題的研究，又促進了對各種點集結構的探討。G.康托爾第一次引進了點集的極限點以及導集等概念，為近代點集論的誕生奠定了基礎。
K.（T.W.）外爾斯特拉斯在1861年首次利用三角級數構造了處處不可求導的連續函數。他的這一發現震動了當時的數學界,因為長期的直觀感覺使人們誤認為,連續函數隻有在少數一些點上才不可求導。
20世紀以來的發展
勒貝格積分理論
20世紀初，H.L.勒貝格引入了新的積分與點集測度的概念，對傅裏葉分析的研究產生了深遠的影響。這種積分與測度，現在稱為勒貝格積分與勒貝格測度，已成為數學各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒貝格用他的積分理論，把上麵提到的黎曼的工作又推進了一步。例如，根據勒貝格積分的性質，任何勒貝格可積函數的傅裏葉級數，不論收斂與否，都可以逐項積分。又例如，對於［0,2π］上勒貝格平方可積的函數，帕舍伐爾等式成立；
傅裏葉級數,特別是連續函數的傅裏葉級數,是否必處處收斂？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先發現，存在連續函數，它的傅裏葉級數在某些點上發散；後又證明，連續函數的傅裏葉級數可以在一個無窮點集上處處發散。這反麵結果的發現提醒人們對傅裏葉級數的收斂性應持審慎態度。
費耶爾求和法
正是基於上述原因，1904年，匈牙利數學家L.費耶爾首次考慮用部分和的算術平均代替級數的部分和，證明了傅裏葉級數部分和序列的算術平均，在函數的連續點上,必收斂於函數自身。這樣,通過新的求和法，又能成功地用傅裏葉級數表達連續函數。這無疑是傅裏葉級數理論的一個重要進展。費耶爾之後，各種求和法相繼產生。一門新的學科分支，發散級數的求和理論，就此應運而生。
盧津猜想
與此同時，傅裏葉級數幾乎處處收斂的問題，特別是所謂的盧津猜想，受到人們的重視（見盧津問題）。瑞典數學家L.卡爾森用十分精巧的方法，才證實了這一猜想的正確性。
複變函數論方法
傅裏葉級數與單位圓內解析函數的理論有著非常密切的聯係。假設(1)是可積函數?的傅裏葉級數，簡單的計算表明，它是複變量z的冪級數
(5)
的實部。另一方麵，級數(5)是單位圓內的解析函數,記為F(z)。這樣,傅裏葉級數(1)可以通過單位圓內解析函數的理論來研究。這就是傅裏葉分析中的複變函數論方法，它是20世紀前半葉研究傅裏葉級數的一個重要工具。
經典的H 空間概念
進一步的研究導致G.H.哈代以及F.（F.）裏斯兄弟建立單位圓上H 空間的理論。他們研究了單位圓內使有界的解析函數F(z)，這裏0