對換實例
傅裏葉變換的變換對
對於N點序列 {x[n ]} 0 ≤ n N ，它的離散傅裏葉變換（DFT）為
?
x
[k ] = N - 1
Σ
n = 0 e - i 2 π
- - - - -
N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1.
其中e 是自然對數的底數，i 是虛數單位。通常以符號F表示這一變換，即
?
x
= Fx
離散傅裏葉變換的逆變換（IDFT）為：
x[n ] = 1
--
N N - 1
Σ
k = 0 e i 2 π
-----
N nk ?
x
[k ] n = 0,1, …,N-1.
可以記為：
x = F -1 ?
x
實際上，DFT和IDFT變換式中和式前麵乘上的歸一化係數並不重要。在上麵的定義中，DFT和IDFT前的係數分別為1 和1/N。有時會將這兩個係數都改成1/ √
--
N
，這樣就有x = FFx，即DFT成為酉變換。
從連續到離散
連續時間信號x(t) 以及它的連續傅裏葉變換（CT）?
x
( ω)
都是連續的。由於數字係統隻能處理有限長的、離散的信號，因此必須將x 和?
x
都離散化，並且建立對應於連續傅裏葉變換的映射。
數字係統隻能處理有限長的信號，為此假設x(t)時限於[0, L]，再通過時域采樣將x(t) 離散化，就可以得到有限長的離散信號。設采樣周期為T，則時域采樣點數N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1
Σ
n = 0 δ(t-nT) = N - 1
Σ
n = 0 x (nT) δ(t-nT)
它的傅裏葉變換為
?
x
discrete ( ω) = N - 1
Σ
n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1
--
T N - 1
Σ
n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T
這就是x(t)時域采樣的連續傅裏葉變換，也就是離散時間傅裏葉變換，它在頻域依然是連續的。
類似的，頻域信號也應當在帶限、離散化之後才能由數字係統處理。依據采樣定理，時域采樣若要能完全重建原信號，頻域信號?
x
( ω)
應當帶限於(0,1/T)。由於時域信號時限於[0, L]，由采樣定理以及時頻對偶的關係，頻域的采樣間隔應為1/L。故，頻域采樣點數為
1/T
-----
1/L = N
即頻域采樣的點數和時域采樣同為N，頻域采樣點為 { ω k = k/NT} 0 ≤ k N 在DTFT頻域上采樣：
?
x
[k ] = ?
x
discrete ( ω k ) = 1
--
T N - 1
Σ
n = 0 f[n ]e - i 2 π
- - - - -
N n k
令T=1，將其歸一化，就得到前麵定義的離散傅裏葉變換。因此，DFT就是先將信號在時域離散化，求其連續傅裏葉變換後，再在頻域離散化的結果。
DFT與CT
下麵考察離散傅裏葉變換與連續傅裏葉變換的關係。
Fx ( ω) = ?
x
( ω) = 1
--
L ∫ L
0 x (t)e - i ω t dt
其采樣為
?
x
( ω k ) = 1
--
L ∫ L
0 x (t)e - i ω k t dt
將這個積分以黎曼和的形式近似，有
?
x
( ω k ) ≈ 1
--
L N - 1
Σ
n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1
--
N ?
x
[k ]
DFT與DTFT
參見離散時間傅裏葉變換
離散時間傅裏葉變換（DTFT）是在時域上對連續傅裏葉變換的采樣。DFT則是在頻域上對DTFT的均勻采樣。離散信號x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT為：
?
x
(e i ω ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ] e - i n ω
對?
x
(e i ω )
在離散的頻點{ ω k = k 2 π
-----
N } 0 ≤ k N
上采樣
?
x
[k ] = ?
x
(e i ω k ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ]e - i 2 π
- - - - -
N k n k = 0, …,N-1
即為x 的DFT。由於DTFT在頻域是周期的，所以在DTFT頻域上的均勻采樣也應是周期的。?
x
[k ]
實際上是這個周期序列的主值序列。
柵欄效應
N 點序列的DFT隻能在有限的N個頻點上觀察頻譜，這相當於從柵欄的縫隙中觀察景色，對於了解信號在整個頻域上的特性是不夠的。為了觀察到其他頻率的信息，需要對原信號x[n]做一些處理，以便在不同的頻點上采樣。
將原來在DTFT頻域上的采樣點數增加到M 點，這樣采樣點位置變為{ ω ' k = e i k 2 π
- - - - -
M } 0 ≤ k M
。則對應的DFT成為
?
x
'[k ] = ?
x
(e ik ω ' k ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ]e - i 2 π
- - - - -
M k n
若在序列x[n] 之後補上M-N個零，設為x'[n]，則上式變為
?
x
'[k ] = M - 1
Σ
n = 0 x '[n ]e - i 2 π
- - - - -
M k n = Fx '
因此將x[n]補零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他頻率上的值，相當於移動了柵欄，因而能夠從其他位置進行觀察。
頻譜分辨率
N 點DFT的頻譜分辨率是2 π/N。一節指出可以通過補零觀察到更多的頻點，但是這並不意味著補零能夠提高真正的頻譜分辨率。這是因為x[n] 實際上是x(t) 采樣的主值序列，而將x[n]補零得到的x'[n] 周期延拓之後與原來的序列並不相同，也不是x(t) 的采樣。因此?
x
'
與?
x
是不同離散信號的頻譜。對於補零至M點的x'的DFT，隻能說它的分辨率2 π/M僅具有計算上的意義，?
x
'
並不是真正的、物理意義上的頻譜。頻譜分辨率的提高隻能通過提高采樣頻率實現。
從空間的角度分析
周期為N的離散信號構成一個N 維歐氏空間C N 。在這一空間上兩個信號x 和y 的內積定義為
〈 x,y 〉 = N - 1
Σ
n = 0 x[n ]y *[n ]
下麵給出C N 上的一組正交基：
{ e k [n ] = e i 2 π
-----
N kn } 0 ≤ k N
將信號x 在這組正交基上分解，得
x = N - 1
Σ
k = 0 〈 x,e k 〉
------
‖ e k ‖ 2 e k
令
?
x
[k ] = 〈 x, e k 〉 = N - 1
Σ
n = 0 x[n ] e - i 2 π
- - - - -
N k n
此即為離散傅裏葉變換。又
| e k | 2 = N
則有
x[n ] = 1
--
N N - 1
Σ
k = 0 ?
x
[k ]e i 2 π
-----
N kn
此即為離散傅裏葉變換的逆變換。
由此可知，在正交分解的角度上說，離散周期信號x的離散傅裏葉變換?
x
實質上是x在正交基 {e k } 上的分量。而從線性變換的角度上說， {e k } 是圓周卷積的特征向量，?
x
則是對應的特征值。
離散傅裏葉變換地基本性質
1.線性性質
如果X1（n）和X2(N)是兩個有限長序列，長度分別為N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)
式中A,B為常數，取N=max【N1,N2]，則Y(N）地N點DFT為
Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;
2.循環移位特性
設X(N)為有限長序列，長度為N，則X(N)地循環移位定義為
Y(N)=X((N+M))下標nR（N）
式中表明將X(N）以N為周期進行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下標n，再將X'(N）左移M位，最後取主值序列得到循環移位序列Y(N)