評析：曾令鵬（廣東省教育廳教研室小學數學教研員）
教學內容：九年義務教育六年製小學《數學》第九冊第84、85頁“三角形的麵積”。
教學目標：
1.引導學生用多種方法推導三角形麵積的計算公式，理解長方形、平行四邊形和三角形之間的內在聯係。
2.通過操作使學生進一步學習用轉化的思想方法解決新問題。
3.理解三角形的麵積與形狀無關，與底和高有關，會運用麵積公式求三角形麵積。
4.引導學生積極探索解決問題的策略，發展動手操作、觀察、分析、推理、概括等多種能力，並培養學生的數學思維。
教學重點：理解並掌握三角形麵積的計算公式。
教學難點：理解三角形麵積的推導過程。
教學準備：每兩人一袋三角形卡片、多媒體課件。
教學過程：
（一）回顧舊知
師：同學們，你們已經認識了哪些平麵圖形？
生：三角形、長方形、正方形、平行四邊形、圓形、梯形。
學生邊回答教師邊將圖形豎貼於黑板左邊，但調整了順序：
師：你學過的知識掌握得真好，一個人就說完了。
師：那你們會計算哪些圖形的麵積呢？
生：正方形。
師：想一想，它的麵積怎樣求？
生：邊長乘邊長。
教師邊說（哦，正方形的麵積等於邊長乘邊長），邊在正方形圖片的右邊板下寫（=邊長×邊長）。
師：長方形的麵積呢？
生：長方形的麵積等於長乘寬。
教師在長方形圖片的右邊板下寫（=長×寬）。
師：就學過這兩個圖形是吧？
生：不是，還有平行四邊形。
生齊聲：平行四邊形的麵積等於底乘高。
教師在平行四邊形圖片的右邊板下寫（=底×高）。
師：平行四邊形是不是剛學呀？那你們還記得它的麵積公式是怎樣推導出來的嗎？
生：把一個平行四邊形，沿著它的高剪開，再把其中的一部分平移到另一邊，就拚成了一個長方形，長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高，所以平行四邊形的麵積就是底乘高。
學生邊回答，教師邊演示課件，加深學生對平行四邊形麵積公式推導的理解和內化。
師：那今天我們能不能采用這樣的方法來推導出三角形的麵積公式呢？（教師手指三角形圖片）
揭題：今天我們就一起來探究三角形麵積的計算方法。（板書課題“三角形的麵積”於黑板上方）
師：請大家先猜一猜，三角形的麵積跟它的什麽有關呢？
生：底和高。
師：三角形的麵積跟它的底和高有沒有關係呢？有什麽關係呢？今天我們一起來研究。
[評析]
課始開門見山，回顧學過的平麵圖形的麵積公式為三角形的轉化做好鋪墊，並快速重播平行四邊形麵積的推導過程，為轉化思想的進一步運用起到啟發的作用，板書設計精心。
（二）探究新知
1.實踐活動
（1）師：請同學們拿出桌麵上的信封，數一數裏麵有幾個什麽圖形？（兩人一套，同桌合作）
生：一個正方形，一個長方形，一個平行四邊形，6個三角形。
[評析]
精心設計了3個基本圖形，即正方形、長方形、平行四邊形，並與之相對應的三角形，無論形狀和顏色都做到了一一對應。讓學生在後麵的開放性思維中能夠思者有依。不同形狀的圖形都編上了編號，在後麵的教學過程中方便稱呼，同時教會學生數學地思考問題。
師：請你們快速回答它們的麵積應該如何計算？
生：1號正方形的麵積=4×4=16（cm2）。
3號長方形的麵積=6×4=24（cm2）。
5號平行四邊形的麵積=6×4=24（cm2）。
教師板書：
師：這三個圖形的麵積同學們輕而易舉就算出來了，現在的問題是你們能不能借助已經算出的麵積，求出2號、4號、6號三角形的麵積呢？
[評析]
這裏的借助，讓學生學會科學嚴謹地學數學，要學生認真比較1號與2號圖形，3號與4號圖形，5號與6號圖形，暗藏了它們都分別是“等底等高”這一概念。設計精妙絕倫。
（2）學生同桌動手操作，教師提示，操作一定要科學嚴謹，可將算式寫在圖形上。
師：你們求出了哪號圖形的麵積？借助的是幾號圖形？
生：我們求出了2號圖形的麵積是4×4÷2=8（cm2）。
師：為什麽？
生：我們把兩個2號圖形拚成了1號圖形，所以它的麵積就是1號圖形的一半。
教師將兩個2號圖形拚成的正方形貼於黑板，並在它的右邊板書=4×4÷2=8（cm2）。
學生用同樣的方式匯報了4號圖形和6號圖形的麵積都是=6×4÷2=12（cm2）。
（過程略）
師：請大家觀察，為什麽三個算式都有“÷2”？
生：因為都是用兩個完全一樣的三角形拚成的正方形、長方形或平行四邊形，一個三角形的麵積都隻是它們的一半。
教師板書：完全一樣的兩個三角形。
教師把三個所拚的圖形都拿走一個三角形，隻保留其中的一個三角形，並用虛線畫出拿走的部分，補充完整正方形、長方形或平行四邊形。
[評析]
用虛線補充完整正方形、長方形或平行四邊形。目的是讓學生將此圖形形狀儲存在大腦中，實現從平行四邊形到三角形的自然過渡。培養學生“用圖形說話”的基本數學素養。
師：（手指圖形）你們發現三角形的麵積是不是跟你們剛才所猜測的底和高有關係呢？有什麽關係呢？
師：需不需要同桌討論？
生：要。
學生對這個問題表現出濃厚的興趣，即興安排學生短時討論。
生：三角形的麵積可以用邊長×邊長÷2，長×寬÷2，底×高÷2。
師：這三種方法有沒有共通之處，可不可以歸納成為一種方法呢？
學生自覺聚頭再短時討論。
生：都可以用“底×高÷2”。
師：真聰明，長方形的長和寬相當於平行四邊形的底和高，因為長方形是（生接：特殊的平行四邊形），正方形的邊長和邊長是不是也相當於平行四邊形的底和高？（生：是）因為正方形也是（生接：特殊的平行四邊形）。所以三者可以統一成為“底×高÷2”，看來剛才那個同學的猜測跟我們現在的推理是完全一致的。
教師用紅筆板書：底×高÷2。
[評析]
充分尊重學生，根據學生課堂學習現狀，當學生需要交流時即時安排同桌討論。打破當前為小組討論而小組討論的唯形式論風氣。
師：剛才大家把兩個完全一樣的三角形拚成正方形、長方形、平行四邊形，初步得出了三角形的麵積的計算公式是（生齊說：底×高÷2）。你們在思考三角形的時候，腦子裏浮現出的應該是什麽（師手指黑板）？
[評析]
教師非常注重對學生空間想象能力的培養，多次讓學生在思考三角形時，腦子裏先想象出長方形、正方形、平行四邊形。同時也是對課一開始時板出的“轉化”的數學思想的強化。
（3）驗證。
師：我給你提供兩個完全一樣的三角形你可以推，如果我隻給你一個三角形又如何呢？你還能用剛才掌握的轉化的方法，推導出三角形的麵積公式嗎？
要求四人小組先討論方法，再動手。（教師邊巡視邊提示：可以用剪刀）
小組操作，課堂呈現一派思考的景象。
生：先把三角形沿著它的高對折，再剪成一個三角形和一個梯形，把這個三角形放下來就拚成了一個平行四邊形，這個平行四邊形的底沒變，高變成了原來的一半，所以得出三角形的麵積=底×高÷2。
師：這裏的“÷2”是指？
生：高是原來的一半。
師：所以三角形的麵積公式可以寫成（生：底乘高除以2的商）。
師板：底×（高÷2）。
師：這個方法跟“底×高÷2”是一樣的。
師（興奮異常）：太棒了！還有沒有別的方法？
（過程略）
師板：（底÷2）×高。
課件再次演示以上兩種方法及其他方法。
[評析]
此時學生情緒空前高漲，興趣盎然。兩個完全一樣的三角形轉化成平行四邊形是教師巧妙提供的，具有偶然性。而隻用一個三角形能否推導出麵積公式也是“底×高÷2”呢？教師再一次精心設計了有方格的三角形，以暗示學生運用折疊或割補等方法，同樣可以將一個三角形轉化為學過的圖形。學生經過小組合作，不太費勁就想到了兩種方法，此時教師與學生們都異常興奮。此環節既是一個科學的驗證環節，更是讓學生美美地體驗了一回“小創造者”的喜悅。
（4）課件演示三角形麵積公式的推導過程。
全體學生看著課件齊讀：兩個完全一樣的三角形，可以拚成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底=三角形的底，這個平行四邊形的高=三角形的高，因為三角形的麵積=平行四邊形麵積的一半，所以三角形的麵積=底×高÷2。
小結：我們通過先猜測，再進行操作、觀察、分析、推理，最後進行驗證（教師說以上幾句時手都指著黑板上的相關部分內容），把新的圖形轉化成學過的圖形（教師邊說邊板書），都是用了（教師手指，生齊說：轉化）的方法，最後得出三角形的麵積公式是：底×高÷2。
[評析]
這一環節設計的目的是讓學生再回到最基本的方法上來，本節課在強調方法多樣性的同時，也注重了基本方法的強化。
師：如果我們用s表示三角形的麵積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那麽三角形的麵積公式用字母表示是：s=ah÷2。
師：在這個公式中，你認為哪一部分最需要注意？
生：“除以2”。
師：為什麽？
生：因為不除以2，算出來的隻是拚出的平行四邊形的麵積。
師：你有什麽辦法幫助你記住除以2？
生：想著那個底不變，高隻有一半的平行四邊形。
生：想著那個高不變，底隻有三角形的底一半的平行四邊形。
師：太棒了！同學們的記憶不是死記硬背，而是通過學習過程幫助記憶，這是最好的學習方法。
[評析]
每一個環節的設計都是那麽巧妙絕倫，環環相扣，絲絲不漏，學生學得輕鬆，教師教得自然。真正體現了“教是為了不教”“活學活用”等思想。
2.應用公式
（1）利用三角形麵積公式，計算一條紅領巾的麵積。
課件出示一條沒有數據的紅領巾圖。
師：請你們計算這條紅領巾的麵積。
生：沒有告訴紅領巾的底和高。
課件再顯示底100 cm，高33 cm。要求學生利用公式獨立完成。
（2）書上“做一做”（隻列式不計算，完成在書上）。
（3）①求右圖麵積的算式是（ ）。
A.9×4÷2 B.15×4÷2
C.15×9÷2D.15×4
生：B。 ②求右圖麵積的算式是（ ）。
A.25×20 B.18×25
C.18×20D.18×20÷2
生：C。
師：為什麽18是20的底？
生：因為平行四邊形對邊相等，18所對應的邊也是18，它們兩條都是20的底。
（4）口算下麵每個三角形的麵積。
①底8 m，高7 m。
生：8×7÷2=56÷2=28（m2）。
師：請大家想想一定要這樣算嗎？
②底5 dm，高12 dm。
生：5×12÷2=60÷2=30（dm2）。
師：為什麽不用簡單的計算方法呢？教師手指板書提示：底×（高÷2）。
生（恍然大悟）：5×（12÷2）=5×6=30（dm2）。
③a：4 cm，h：20 cm。
生：4×（20÷2）=4×10=40（cm2）。
④a：20 dm，h：5.4 dm。
教師手指板書提示：（底÷2）×高。
生：20÷2×5.4=10×5.4=54（dm2）。
師：我們學的知識要靈活運用，在口算的時候一定要學會巧算。
（5）看圖填寫答案。（每一格代表1cm2）
這些三角形的高都是____cm，底都是____cm。
這些三角形的麵積都是：□×□÷2=□（cm2）。
師：我讀題，你們認真聽仔細思考，然後口答。
師：請你在投影幕上指出第3幅圖和第4幅圖的高在哪？
學生到黑板前指出它們的高。
師：通過這4個圖形你發現了什麽？
生：就算三角形的形狀不同，隻要它們的底和高分別相等，它們的麵積就相等。
師：他說的底和高都分別相等，用4個字表示就是“等底等高”。
[評析]
練習題設計由淺入深，從基本練習，鞏固、熟練公式；到選擇練習，學生通過甄別對比，強化對公式的理解；第4題的設計是將前麵的多種推導方法靈活運用到計算上來，這一點往往是許多教師想不到的；第5題拓展練習是讓學有餘力的學生展翅高飛。練習題的整體設計針對性強，巧妙、靈活。
（三）課堂小結
這節課同學們學得非常好，通過把不會求麵積的圖形轉化為會求麵積的圖形，就推導出了新圖形的麵積公式。這種轉化的思想在學習上和生活中都非常有用。
那麽我們以後要學的梯形和圓形的麵積，又能不能轉化成我們現在學會的4種圖形的麵積來推導呢？請大家回家後做大膽的猜測，或者研究，可以寫成一份小研究報告交給我，我們一起來探討。下課。
[評析]
讓學生大膽猜想我們還不會求麵積的兩個平麵圖形梯形和圓形，它們的麵積公式可否運用轉化的數學思想進行推導。真正體現了數學不是教會學生做題，而是教會學生用數學的思想思考問題，用數學的眼光看待問題的數學思想。
[全課評析]
本堂課的主要特點是用發現探索的方法引導學生學習、理解、掌握三角形的麵積公式。教師的語言準確、生動、幽默，富有啟發性和感染力；學生積極配合，情緒高漲，在緊張而又愉快的氣氛中學習新的知識，進行智力活動。從認識心理學的角度去分析，表現為如下幾點：
第一，將三角形的麵積與已知正方形、長方形、平行四邊形的麵積公式聯係起來，這是將新知識納入學生已有的認知結構，有助於學生對三角形的麵積公式的理解。
第二，讓學生動手操作模型、卡片，根據學生需要組織學生小組討論，選派學生上黑板演練，師生一起歸納得出三角形的麵積公式，讓學生體驗數學知識的形成過程，符合從具體到抽象的認知規律。
第三，啟發學生想出了三角形的多種推導方法，一個問題多種解法，有利於打開學生的解題思路，培養學生的多向思考。
第四，在三角形的麵積公式的推導和運用中，提煉總結出“轉化”的數學思想方法，並將這一方法貫穿在整個教學過程中，使學生的思維得以升華，使學生受到了“數學思想”的熏陶。
第五，設計典型的問題讓學生練習。思維始於問題，通過這些問題，學生對剛學習的內容得以鞏固、理解、精化，是對新知識的更進一步的遷移訓練。
總之，本堂課圍繞“三角形的麵積公式推導及運用”這一主線，設計了豐富多樣的數學活動，學生在學習過程中循序漸進，在學習數學新知識的同時，也得到數學思維能力的訓練，同時也受到數學思想方法的熏陶。