竺可楨出生於普通的農民之家，父親竺嘉祥別號吉甫，熟人常叫他開祥。原居東關鎮西5公裏處的保駕山，世代務農。
吉甫個兒不高，胖墩墩，頭戴一頂氈帽，腦後辮子粗壯，臉色黑裏透紅，眼睛有神，一副憨厚淳樸的模樣。20歲左右與顧金娘結婚，迫於生計，離開家到東關鎮上開設米攤，於1876年得長子可材，兩年後得次子可謙，之後又連得三位千金，而竺可楨則是他的小兒子。
竺可楨的母親顧金娘，個兒不高，有一雙“三寸金蓮”，走路一搖一擺，窈窕多姿。常穿著青嗶嘰麵的小尖鞋，藍布旗袍合身整潔，圓圓的發髻緊貼後腦，臉盤小巧、周正，走起路來急促、利落，頗顯精神。她具有溫良恭順的德行，最大的特點是節儉、能幹，上有公婆，下有子女，一家9口的吃穿，全由她張羅。家人和店員開飯要擺兩桌，她隻請了一個老保姆做家務。
經過幾年的籌劃，他父親在鎮西的米市街西頭開了個“承茂米行”鋪麵，連年生意興隆，家境日漸富足。作為一個糧商，竺嘉祥受到傳統思想“萬般皆下品，唯有讀書高”的影響，很希望兒子們能以讀書奔出個好前程。大兒可材、二兒可謙，先後入私塾接受當時的科舉教育。後來，可材考中秀才，可謙因體弱輟學。
竺家人丁興旺，住房顯得擁擠，他父親就在鎮上買了一塊土地建房。1890年新房落成，大門朝北，南屋樓房上下4間，南房，作為幾兄弟的書房；東側樓房上下6間，是全家人的居室。這新居，被人們稱為“竺家台門”。
新居落成前，有天晚上，顧金娘做了一個夢，夢見一隻大熊，解夢先生說這是“夢熊來兆”。就在喬遷新居時，竺可楨這個竺家幺兒，呱呱墜地，雙喜臨門，喜氣洋洋，於是他父母就給他取名竺兆熊。
常言說：“皇帝愛長子，百姓寵幺兒！”他父母當然十分鍾愛這個小兒子。
他的父親，把光宗耀祖的責任，望子成龍的希望，都悄悄地寄托在這個幺兒子身上。他2歲時，就在父親的教導下讀書認字。
一次，他騎在父親肩上，隨父到鎮上訪友，父親途中挑了一些店鋪的招牌教他認字，等回來時一考，那些教過的字，他大都記住了。
離竺家台門遠一點的街坊鄰裏，聽說兩三歲的小伢兒會認店名，就想考考他，店主指著招牌對他說：“你要是認得上麵的字，我就請你吃甜醬瓜。”他抬起頭一看，立即念道：“萬順園。”店主又指前麵一爿店，他又認得：“同泰米行”。從此，街坊鄰裏都把他當神童看待了。
有一天，父親要到外地辦事，臨走時對他說：“可楨，今天我有事，不能教你識字了，放你一天假好嗎？”他聽到這話，趕忙緊緊拉著父親的衣角，非得讓父親教完字才放行。
他母親顧氏夫人，特別喜歡幺兒的聰明伶俐，而且通過自己的言傳身教，給他幼小的心靈播下了善學的種子。
紹興經常下雨，有時一下就是好幾天。有一次，他正在聚精會神地數著從房簷上滴下的雨滴，“1、2、3、4……”突然發現每一束水滴的落地處，石板上都有一個小坑。小可楨馬上去問媽媽，石板上為什麽會有小坑?
媽媽意味深長地告訴兒子：“可楨呀，你問得好，這就叫‘水滴石穿’，你別看一滴水沒有什麽厲害的，可日久天長，就能把石板滴出一個個小坑來。孩子，讀書、辦事情，也是這個道理，隻要持之以恒，就一定能成功。”他點點頭，牢牢記住了母親的話，而水滴石穿，也成為了他的座右銘。
他的父親時常向他嘮叨：“你要好好向大哥學習，好好寫字、讀書。”所以從小他就將讀書寫字當為頭等大事。
5歲那年，他進了私塾，課堂設在廂房正屋，老師就是他的大哥竺可材。他大哥是個秀才，在附近早已有些名氣了。
進私塾的前一天，鄰居小孩叫他去放風箏，他不折不扣地完成大哥布置的背詩、寫字任務後才離開家門。竺可材國學基礎深厚，竺可楨勤奮好些，兩人白天一個教書一個讀書；晚上一個備課一個複習。他大哥博學多才，小可楨自然刻苦，決心成為大哥那樣的秀才，因此學習成績一直名列前茅。隨著課程深入，隨班學習已經滿足不了他，於是他大哥就讓他超前學習，別的孩子在讀《三字經》時，小可楨已經在讀《聲律啟蒙》了。私塾幾年，他讀了很多古書，《四書》《五經》都能背誦。
7歲時，他開始作文，大哥對他反複啟發，精心教育，有時陪他學到深夜。
1897年，他大哥考得廩生，要去縣城趕考，還得去外地工作。
他母親不放心小兒子到較遠的小學走讀，他父親就用米行三分之一的收入，聘請了道墟鎮趙家樓大名鼎鼎的私塾先生章景臣(鏡塵)來家執教，傳授學問。書館就設在竺家台門小天井南的南屋，隔壁陰暗的小屋，就是他的臥室。來書館就讀的學生，都從自己家中搬來小凳、小桌，圍在這十幾平方米的小屋裏聽老師講課。
竺可楨聰慧、機敏，深得章先生喜愛。章先生還給他取了個學名竺可楨，認為他將來一定會成為國家的棟梁之才。章先生17歲考上秀才，在家開設過私塾。戊戌維新後，清政府改革舊學製，興辦學堂。
1899年，東關有識之士袁尚林在天華寺建起了鎮上第一所小學堂“毓菁學堂”，多次延請章先生去任教。章先生對勤奮刻苦、學有長進的小弟子非常愛惜，遂向校方提出，讓竺可楨免考入學。這樣，章先生成了他的國文教師。
一次，章先生要求學生們用“苦”、“甜”造句，他想了想就回答說：“喪權辱國最苦，國家富強最甜。”頓時，得到章先生的讚許。
章先生認定小可楨是棵千載難逢的才學苗子，有心要把他培養成國家的“楨幹”。在加強學科知識教育的同時，更注重對他精神抱負的教育。專門選擇一些曆史上優美的散文、詩歌、傳記讓他閱讀，並給他講許多古代偉大詩人、作家在坎坷的困境中發憤讀書、創造業績的故事，教導他應該怎樣做一個有益於社會的人。
章先生對他要求特別嚴格，盡管竺可楨寫出來的文章比其他同學要好出許多，章先生總還是要挑出一些不足，仔細啟發、引導；上課提問時，對他的回答，總還要加上一個為什麽，敦促他加深理解，著力提高思維能力。
一次，竺可楨閱讀了一篇《愛蓮說》，他想，古人多愛牡丹，少人愛蓮，我不僅愛蓮，更愛蓮根——藕。他將想法告訴了章先生，得到了先生的讚賞：“不錯，藕雖埋在汙泥裏，根莖保持潔白無瑕，它將自己的營養貢獻出來，讓蓮花亭亭玉立而不沾汙泥，你應該學習藕的那種純潔堅貞的品德和氣節。”先生的至理之言與真切希望，給他留下了難忘的印象。後來他為了警示自己潔身自好，發揚敢於獻身的精神，自己取字為“藕舫”。
竺可楨小學未畢業，家境就開始衰落，小學畢業後，竺家已難以維持。一些親戚近鄰看他已15歲，且人生得聰明，主張他學做生意賺錢。他一心抱有科學救國思想，章先生也主張他去外地接受新教育。父親竺嘉祥雖然了解孩子心思，但經濟窘迫，進退兩難。章先生就從自家拿了一筆錢給竺父，這讓竺家增強了培養孩子深造的決心，於是四處借錢，湊足經費讓竺可楨外出求學。
1905年秋，竺可楨才15歲，就孤身一人出發到上海。出發那天，與他相處10年的章先生親臨竺家送了一隻嶄新的書包，為弟子送行。他也不負眾望，到上海就考入了浙江商人葉成忠捐資創辦的澄衷學堂。
中學課業繁重，他勤奮好學，成績優異。然而，他個子又瘦又小。一天教室幾個同學嘲笑挖苦他的小身板，胡適(當時叫胡洪騂)亦在其中，兩人都喜愛讀書，為了督促竺可楨鍛煉身體，胡適激將道：“好一個可笑的小矮子，像他那樣，估計活不過20歲。”
聽了這些話，竺可楨十分氣惱，但自己的身體的確單薄，而想要為國、為社會貢獻，身體好是前提。不服輸的他，當即暗下決心，要把身體鍛煉好。
從此以後，他每天清晨起床做早操，還經常進行遠足和爬山，風雨無阻，漸漸地，他的身體開始強健起來。
1908年春，離畢業還有3個月，班上同學向校方提出更換圖畫教員遭到拒絕，全班罷課，校方不予畢業。暑假後，他考入複旦公學。
這年冬天，母親顧氏夫人病逝，蘭可楨悲痛萬分，為學更加勤勉，以慰亡母，在複旦公學，他堅定了“科學救國”的思想。
1909年，他考入唐山路礦學堂，學習土木工程，每次考試都名列榜首。
1910年8月，他和同學胡適二人同行，赴北京參加第二期留美庚款公費生選拔考試。
當時400多人應考，錄取70人，他考得第28名，胡適第55名。
在美國留學時，他先在美國伊利諾伊大學農學院，1913年夏畢業後，轉入哈佛大學研究院地理係專攻氣象，1918年以台風研究的優秀論文，獲得了博士學位，時年28歲。回國後，於武昌高等師範學校任教。