提要：界域、逆界域、範限、反逆的概念/自反性、對稱性、傳達性的定義及其相關情形
“吳先生！邏輯傳統比現代邏輯的範圍窄，是不是？”王蘊理問。
“是。”
“窄在什麽地方呢？”王又追問。
“很多，很多，最明顯而易見的地方，是邏輯傳統沒有將關係的研究包含進去。我想……如果當初邏輯傳統將關係的研究包含進去，它的內容一定比較豐富得多。‘關係’（relation）在邏輯裏很重要，如果沒有關係，那麽邏輯的內容恐怕要少掉許多。十九世紀有位德國邏輯家叫作施羅德（Schroeder），他對於關係就作過許多研究，蔚為大觀。
“關係既然這樣重要，吳先生可不可以講點給我們聽呢？”周文璞問。
“當然可以，不過……關於關係的研究，認真說來，在邏輯各部門中是最複雜的一部門，我們現在隻好簡單地談談。”
“關係是什麽呢？”王蘊理問。
“我們最好先不談這個問題。就一派哲學的說法，關係好像是空氣，無所不在的東西。這種說法，無論通或不通，似乎不在邏輯範圍以內，所以我們不必討論。如果從純邏輯觀點來推敲什麽是關係，那麽必須從函數論（theory of functions）開始，這非我們現在之所宜。我們現在所須知道的，是‘關係’一詞在各種情形之下的用法。照科學家看來，宇宙之間事事物物總是以各種不同的方式聯係起來的；物理的事物彼此有空間關係，或有引力關係；人同人之間，是靠婚姻、血統、朋友、同學、同事、同隊等等關係聯係起來的。
“關係，我們首先可以從兩種觀點來討論。第一種觀點是從關係的性質（property）來考察；第二種是從關係的外範之數目來考察。就我們現在的目的而言，我們隻能多注意到關係的性質方麵。在談關係的種種性質以先，為了便於了解起見，我們要介紹幾個概念。”
老教授一條一條地寫著：
“界域（domain）：一種關係R的界域乃使R與各種事物發生聯係的一切事物之類。例如，‘作丈夫’關係的界域乃一切丈夫之類。
“逆界域（converse domain）：一種關係R的逆界域乃該關係R由之而生的一切事物之類。例如‘作丈夫’的關係之逆界域，乃一切妻子之類。沒有妻子，當無丈夫之可言。當然，我們也可以說‘丈夫’之類乃‘作妻子’的關係R之逆界域。
“範限（field）：一種關係R的範限乃屬於關係R的界域與逆界域的一切事物之類。換句話說，範限乃一種關係R的界域及逆界域之邏輯和（logical sum）。例如，一切丈夫與妻子的類乃‘作丈夫’的關係之範限，也是‘作妻子’的關係之範限，也是‘夫婦’關係之範限。
“反逆（converse）：關係R的反逆，乃當任何時候a與b有R關係時，b與a所具有的關係。‘在東’的關係乃‘在西’的關係之反逆。‘被稱讚’這種關係，乃‘稱讚’關係之反逆；一種關係R的反逆之界域的分子與R的逆界域的分子相同。
“談到關係的性質，基本的有三種，即自反性（reflexivity）、對稱性（symmetry）和傳達性（transitivity）。而每一種都有其反麵和中間情形，所以一共有九種。
“自反性，一談到自反性，我們不要望文生義，以為是‘吾日三省’中的那種‘自反’。那種‘自反’，是在道德修養上做功夫；也不是所謂‘自反的思想’（reflective thinking）中的‘自反’。這種自反，至少在一種意義之下，是思想反照著思想。我們現在所說的自反是一種純粹的關係，一個類是它自己，一個語句是它自己。用符號來表示是：
xRx
“如果aRa對於關係R的範限之每一分子為真，則此關係R是自反的。‘相似’是一種自反關係。一個人，無論如何，在任何情形之下，總是與他自己相似的。
“自反的反麵是不自反（irreflexive）關係。如果aRa對於關係R的範限之每一分子為假，則此關係是不自反的。‘異於’是不自反的關係。任何人不能‘異於’他自己。‘作兒子’的關係是不自反的，任何人不能夠自己作自己的兒子；‘作父親’的關係也不是自反的，一個人不能是他自己的父親。不自反關係，在我們現在看來，似乎無關重要，不值一提，這是因為我們沒有碰見邏輯上比較精細的問題。類的分子關係（class membership）是不自反的，這點就甚關重要，如果不然，我們說類是它自己的分子，那麽便會引起極嚴重的自相矛盾。這種自相矛盾，是一種詭論。現代邏輯家費了很大的氣力才消除了這種詭論的。
“在自反與不自反之間有準自反（mesoreflexive）關係。如果aRa在有些情形之下為真，而在另外的許多情形之下為假，則關係R為準自反，‘欣賞’便是這種關係。有人自我欣賞，有人不好意思，所以，是準自反的。在一類人中，‘自傲’是準自反性的關係，因為，在一類人中，有的人自傲，有的人不自傲。可能自反而不必然自反的關係就是準自反關係。
“對稱性。如果無論在何情形之下aRb為真則bRa亦真，則關係R是對稱的。‘夫婦’關係是對稱的，如果a與b有夫婦關係，則b與a也必有夫婦關係。中國傳統的建築多半是對稱性的；皇帝兩邊有左臣右相，也是對稱的。曹操款待劉備，青梅煮酒論英雄時，若曹操坐在劉備對麵，劉備也當然坐在曹操對麵。‘對麵’就是有對稱性的。‘同年’有對稱性，如果張三與李四是同年的，那麽李四一定也與張三是同年的。不過，邏輯並不涉及類此一個一個有對稱性的特殊關係，而隻研究普遍的對稱性。對稱性用符號表示出來是：
如果aRb那麽bRa
“在黑板上所寫的公式中，a、b……表示關係項之變量。R表示任何關係。於是這個公式讀作：如果a與b有R關係，那麽b與a有R關係。假若有a、b是一對雙生子，如果我們說a的相貌像b，那麽我們也得承認b的相貌像a。因為‘相像’是對稱的。在這種關係之中的兩項，無論怎樣對詞，總是說得通的。
“可是，並非所有的關係皆有對稱性。周文璞，我現在請問你，如果a是b的弟兄，那麽b是否是a的兄弟？”吳先生慢慢吸煙，等著周文璞回答。
“大概是吧！”
“哈哈，大概是的！我說大概不是的。邏輯界域裏有什麽大概可言？”老教授忍不住笑道，“如果蘇轍是蘇軾的弟兄，那麽蘇軾是不是蘇轍的兄弟？請你再想想。”
“當然是的。”
“好吧！那麽我再請問你，如果蘇軾是蘇小妹的弟兄，那麽蘇小妹是不是蘇軾的兄弟？”
周文璞愣住了。
“哦！這一下你發現困難了吧！從這個例子，我們就可以知道，我們不能由a是b的弟兄，而隨便順口就說b是a的弟兄。如果a是b的弟兄，那麽在有的情形之下，b是a的弟兄；在另外的情形之下不是，而是姊妹。類此的關係很多。例如，如果甲男子愛乙女子，那麽乙女子也許愛他，也許不愛，可沒有人保險，是吧？”
“嗬嗬！”
“哈哈！”
“這種關係，用符號表示出來是，”吳先生又在黑板上寫著：
如果aRb，那麽bRa或不是bRa
“這種關係性質，叫作準對稱性（mesosymmetry）。‘作朋友’的關係便是準對稱性的。a跟b扯交情，b不見得一定與a扯交情，也許扯，也許不扯。有的人愛說‘我的朋友胡適之’，也許胡適之還不認得他哩！……可是，準對稱性並不是反對稱性（asymmetry）。反對稱性可以表示：
如果aRb，那麽不是bRa
“如果美國較英國富，那麽一定不是英國較美國富；如果我較你高，那麽你一定不比我高；如果甲在乙之右，那麽乙一定不在甲之右；如果黃帝是我們的祖先，則我們一定不是黃帝的祖先。‘作祖先’‘較富’‘較高’‘在右’等等關係，都是反對稱性的。
“我們現在要談談傳達性（transitivity）。假若某趙大於某錢，而且某錢大於某孫，那麽一定是某趙大於某孫。假若有A、B、C三個類。如果A包含B，而且B包含C，那麽一定A包含C。如果甲矮於乙，而且乙矮於丙，那麽甲一定矮於丙。‘大於’‘包含’‘矮於’等等關係，都是有傳達性的。用符號表示是：
如果aRb而且bRc，那麽aRc
“可是，如果a和b有某種關係R，而且b和c有某種關係R，那麽a和c之間在某些情形之下有某關係R，而在其他情形之下沒有，這種關係叫作準傳達性（mesotransitivity）的關係。用符號寫出來：
如果aRb而且bRc，
那麽aRc或不是aRc
“這種關係是很多的，‘朋友’關係便是其中之一。如果英國是美國的朋友，而且美國是中國的朋友，那麽英國不必是中國的朋友。如果周文璞是王蘊理的朋友，而且王蘊理是另一人的朋友，那麽周文璞也許是另一人的朋友，也許不是那另一人的朋友，周文璞也許根本就不認得那個人。所以，我們不可因周文璞是王蘊理的朋友，而且王蘊理是那另一人的朋友，而推論周文璞是那另一人的朋友。‘朋友的朋友是朋友’不見得是真話。‘喜歡’也是如此，甲喜歡乙，而且乙喜歡丙時，甲也許喜歡丙，也許不喜歡，並無一定，這是因為‘喜歡’雖然可能有傳達性，但不必然有傳達性。
“不過，準傳達性與反傳達性（intransitivity）不同，我們不可混為一談。”吳先生加重語氣，“反傳達性的關係是：如果a與b有某種關係R，而且b與c有某種關係R，那麽a與c一定沒有某種關係R。我的祖父是我父親的父親，但是，我的祖父一定不是我的父親；X是Y的兒子，Y是Z的兒子，X一定不是Z的兒子。具有這種性質的關係很不少。‘……的師傅’‘……的母親’等等都是。我們可以將這種關係性質表示作……”
吳先生寫出：
如果aRb而且bRc，那麽不是aRc
吳先生靠在沙發上，慢慢抽著煙。
“這幾種關係性質並列在一起，便有怎樣的性質呢？”王蘊理問。
“如果這幾種性質並列在一起，那麽所產生的性質便很複雜。我們現在隻將幾種最簡單的提出說說。
“最顯然易見的性質，是既自反又對稱而且又有傳達性的關係，等於就是具有這三種性質的關係。A等於它自己，這是有自反性；若A等於B，則B等於A，這是有對稱性；若A等於B，而且B等於C，則A等於C，這是有傳達性。
“既有對稱性又有傳達性的關係。‘同時’是既有對稱性又有傳達性的關係。若甲與乙同時到達，則乙必與甲同時到達。若甲與乙同時上船，而且乙與丙同時上船，則甲與丙必為同時上船。
“有對稱性而是反傳達性的性質，一排士兵在一條直線上站立時便有這種關係。若甲兵緊靠乙兵之旁，則乙兵必緊靠甲兵之旁，這是有對稱性。可是，若甲兵緊靠乙兵之旁，而且乙兵緊靠丁兵之旁，則甲兵一定不是緊靠丁兵之旁，這是無傳達性。
“有傳達性而又有反對稱性的關係。若周文璞比王蘊理起得早，而且王蘊理比我起得早，則周文璞一定比我起得早。‘早些’有傳達性，但無對稱性，若周文璞比王蘊理起得早，則王蘊理一定不比周文璞起得早。‘兄長’也是如此，若老大是老二的哥哥，而且老二是老三的哥哥，則老大一定是老三的哥哥，這是有傳達性，但沒有對稱性；若老大是老二的哥哥，則老二一定不是老大的哥哥。‘美些’‘在右’等等都屬這一類。
“反對稱而又反傳達的關係。‘作祖父’‘作父親’‘作兒子’……都是這種關係；若甲是乙的祖父，則乙一定不是甲的祖父，這表示‘祖父’無對稱性。若甲是乙的父親，而且乙是丙的父親，則甲一定不是丙的父親；‘作兒子’的關係亦然，都無傳達性。
“從關係的外範著想，即依照關係所包含的項目之多少著想，關係可以分作二項的dyadic，三項的triadic，四項的tetradic，五項的pentadic，……多項的polyadic。‘羅密歐愛朱麗葉’，在這個語句中，‘愛’是二項關係。結婚時‘作介紹人’則是三項關係，因此項關係牽涉‘作介紹人者、男方以及女方’。”
“我們還可以從別的方麵來考慮關係嗎？”周文璞問。
“當然可以。依項目與項目之間的對應情形來考慮，關係可分作：一對一（one - one）、一對多（one - many）、多對一（many - one）、多對多（many - many）四種。在基督教的規定之下，夫婦關係是一對一的關係。可是，假若一個未婚女子不隻交一個男友，則她對男友的關係是一對多的關係。……所以，”老教授笑道，“你在與某小姐交朋友時，別生出誤會，以為是一對一的關係哩！”
“哈哈！學了邏輯就不致誤會了！”周文璞得意地說。
“‘作司令官’的關係也是一對多的關係。是不是？因為，在一個單位中，隻有一個司令官，而兵則很多。多對一的關係也常見。在演講中，聽眾是多，講演者往往是一。‘作臣仆’的關係也是多對一。在古代專製之下，作臣仆者眾，而作君王者隻有一人。多對多的關係，例如，‘作教員’。在一個學校中，教員有許多，學生也有許多，所以是‘多對多’。
“關係的研究，我們在這裏已把基本要點指出。至於詳細的推演，隻有待將來。”