加涅認為關於學習與教學的普遍理論對於學科知識的教學和學習是大有裨益的。這裏僅以數學學科為例探討加涅學習教學論在數學教育中的應用。

我們知道加涅關於學習層級的理論最早來自於20世紀六七十年代，那時他曾與馬裏蘭大學開展數學研究項目。他們曾經通過實驗的方法來研究對於小學生幾何學習的影響因素。①通過實驗，加涅證明了在數學學習中，知識的層級是影響學生知識獲得的一個重要因素。也正是在與馬裏蘭大學所進行的數學項目的研究中，初步形成了加涅關於學習層級的思想。

到20世紀80年代，當他的學習與教學理論逐漸成熟時，他又提出學習與教學的理論在數學領域比如說算術、幾何、微積分中同樣適用。這裏僅以算術為例探討加涅關於數學教育中的思想。

加涅關於數學教育的研究與當時的美國的社會大背景關係密切。80年代的美國盡管一直在強調加強中小學數學教育，提高數學教學的水平，但是其結果並不理想：學業能力傾向測驗(the Scholastic Aptitude Test)的平均成績逐年下降，美國國家教育評估(the National Assessment of Ed-ucational Progress)的結果更加慘淡，約有42%的17歲青年幾乎不會計算百分比，58%的青年不會計算麵積。在佛羅裏達州對11年級的學生進行的讀寫測試中(theFunctional Literacy Test),數學部分的不及格率要明顯高於言語部分。在大學，當一些學生發現化學問題涉及許多數學問題解決時，很多學生改變了他們的課程選擇。①由此加涅提出，也許有的人因為在數學方麵表現不出色而不喜歡數學，但是一些非常有用的數學基本技能卻必須要掌握。隨後，他提出了在數學基本技能教學中應該注意的問題，企圖通過學習相關理論研究來改變數學學習與教學中的問題，這裏僅以加涅關於低年級數學問題解決的思想來做說明。

1.數學中具體與抽象的轉換

數學中首先要解決的是抽象與具體的問題。加涅通過對於學生解決數學問題的分析指出，在數學問題的解決中至少涉及三個過程。

第一，將具體問題轉變為數學表達式。比如“運動場跑道一圈是400米。小明堅持每天跑5圈，他每天跑多少米?”是具體的數學問題，需要轉變為數學表達式“400×5”。“400×5”可以看成是抽象的，但計算時又將涉及具體規則的應用。

第二，運用規則，得出結果。這裏就涉及將數字以某種形式列出來(如列出豎式),運用乘法規則，計算出結果。“400×5”得出結果“2000”。“2000”依然是抽象的，除非它與具體的情境相聯係。

第三，驗證結果。當解答完畢後，需要核對結果。教師可以問：“你們計算的結果是每天跑2000米嗎?”當然除此之外還有很多種方式。此時的2000與具體情境“小明每天跑2000米相聯係，又變成了具體的”。

所以，加涅指出，在數學解決問題的過程中，學習者往返於具體與抽象之間，他必須能夠完成由具體到抽象，並由抽象到具體的轉化。這樣要提高學習者的數學能力，就必須從這三部分入手。

首先，在口頭陳述的具體情況轉變為數學表達式的這個部分，我們可以看到口頭語言是對於具體情況的描述，所以學習者必須具備一定的語言理解能力。除此之外，學習者還必須確定適當的數學運算，應該用乘法還是應該用除法等。基於此心理學家還利用計算機設計一套將“語詞問題”轉換為數學語言的程序，並將計算機的行為與人類的行為作比較。後來雷斯尼克和福特(Resnick and Ford)還指出學習者要具備跟計算機一樣的能力就需要進行非常具體的自下而上的學習，以及適當的教學使學習者建立起相同的技能。那麽什麽樣的教學能夠使學生完成由口頭陳述的具體情況到數學語言的轉變呢?加涅指出，這種轉變肯定不是像某些教師所教給學生的通過口頭語詞來判斷，比如說“多多少”就意味著“加法”,“少多少”就意味著“減法”。教師應該幫助學生在頭腦中形成某些解決問題的“圖式”。前麵我們講到過，圖式是物體、事件及行為背後的一般觀念，可以用來組織零散的刺激、信息和數據。

圖式的建立對於人們解決問題具有重要的意義，認知心理學家提出了問題解決與圖式之間的關係。人們在遇到問題時，問題解決者首先是搜尋以前是否遇到過相類似的問題，若有，問題解決者則隻需要激活正確的圖式，就能夠很快地解決問題了。若問題解決者沒有可以利用的圖式，必須通過對各種方法的搜索檢驗才能找到合適的解決方法。由此可見圖式對於解決問題的重要性，結合到數學問題中，對於曾經經曆過的類似的數學問題時，學生隻要激活已有的圖式(主要是利用已有的數量關係)解決問題就行了，無需再經曆一次解決此類問題的探索過程。

所以，數學教學中可以通過“速度問題”“麵積問題”“時間問題”“追擊問題”等將具體的問題分類，建立起解決每類問題的圖式，這樣在完成從具體情境到數學表達式的轉換中，學習者的效率將更高。

下麵跳過第二階段，來看第三階段，驗證解決方案，即檢驗解決方案是否有效。那是否就是通過最後計算結果來檢驗呢?在數學中有很多情況是沒法用最後的結果來檢驗的，畢竟數學很複雜，比如說代數中方程的假根。有時即使連簡單的兩個數相乘都不行。

前麵四個的計算還比較合理，但是後麵的計算就很奇怪，過程和結果都很奇怪。其實在這個例子中，最簡單的驗證方法就是先用19乘以2所得的結果38再乘以10,即在38後麵添一個0就可以了。

在乘法計算的這個過程中，對於學生來說，計算19乘以20的過程是具體的，其就是一個乘法規則的演示過程，先把兩個數字按豎式的形式擺好，然後一次用一個數去乘，最後將所得的結果相加。但是檢驗的過程卻是一個抽象的過程，學生需回憶19×20是否就等於19×2×10,同時學生還需要獲得一些抽象的知識，比如說以0結尾的數字是10的倍數，在正整數後麵添一個0原數擴大10倍等。

當然也還有很多其他驗證解決方案的方法，但是關鍵在於教師要有意識的教給學生一些檢驗的方法，加減法可以相互檢驗，分數的計算可以用小數來檢驗，或是估算等。如果在這個計算中，學生知道19×20略小於20×20,即400的話，也不至於得出3800、2180這樣的結果。

最後再回過頭來看中間的計算階段。加涅認為，中間的計算階段是具體的。因為在這個過程中學習者處理的對象是寫在紙上的具體數字表達式，他們知道如何利用規則計算72減去38,他們知道要列出豎式，他們知道個位不夠減時，向十位借一當十。但是在數學學者中，有的人卻不這麽認為。有些學者認為，這個過程不是具體的。教師在對兒童的教學的過程中應該引入木塊、木棒等一些可操作性的對象。他們認為利用這些可操作性對象來計算比學生在紙上進行演算更加具體。因為可以利用木棒或是木塊作為中間計算階段的輔助工具。加涅認為，這種方法對於學生其實是沒有好處的，相反卻有害處。當學生能夠通過豎式計算出17乘以9,為什麽又要用木棒來幹擾他們呢?其實不僅沒有減輕學生的負擔反而增加了，因為在這個過程中，學生又要將數字轉化為具體的幾組木棒，並且學生不一定能夠成功地完成這種轉換。即使能夠轉換，也不一定對基本的計算有幫助。

在數學的教學中，關鍵點就是要把握好這三個階段中抽象與具體的相互轉化。

2.技能的自動化

在數學教學中，隻要稍加留意就會發現，有些孩子基本的數學計算技能是錯誤的，如果不能改變學生這種錯誤的理解，正確的性能如何得到保證呢?所以在糾正錯誤技能方麵，加涅提出了兩個觀點：第一個是錯誤的計算規則可以通過教授正確的規則加以糾正。也就是說，教師遇到學生習得了錯誤的規則，最好的方法就是忽略學生錯誤的表現形式，盡可能直接教授正確的規則。加涅認為，通過使學生認識到究竟自己錯在什麽地方，然後再教授正確的，這樣的方式是不可取的，簡直就是在浪費時間。第二個觀點就是盡可能地從前麵所提到的解決問題的三個階段來進行教學，尤其是促進運算階段的自動化。

在講運動技能的過程中，曾經提到過自動化。當運動技能到達自動化的程度時，幾乎不需要意識控製，也能熟練的完成動作。在數學計算中也涉及自動化的問題。而且自動化已經受到認知心理學家的普遍認識。他們認為在解決問題中涉及工作記憶，因為問題解決涉及對已有知識的使用，就需要將已有的知識從長時記憶中提取出來，與現在所遇到的問題相互作用，這個過程稱為工作記憶。但是工作記憶的空間又是有限的，而要成功的解決問題，人的有限的注意力又要用於問題最複雜的部分，這樣認知過程中的某些方麵就必須達到自動化的程度，即其很少需要意識的控製。

這裏可以通過一個簡單的例子來說明，曾經有個研究理論物理的學生，碰到了一個問題，如何用數學方式來表示一個物理現象。這個學生邊思考，邊列出一些含有幾個變量的代數方程式，其很快就將物理問題轉化為代數方程問題，顯然他做這些是自動的，很少需要有意注意。

其實，自動化的提出對於數學教學具有重要的意義。這裏就可以解釋為什麽有的學生在整數的計算中經常出錯，那是因為他們尚未獲得正確的規則，或者是說他們並沒有真正掌握規則，即規則的運用還未達到自動化的程度。同樣也可以解釋那些在將口頭陳述的具體情境轉化為數學表達式方麵優異的學生而最後解決問題卻不理想。其實原因就在於有些學生運算技能尚未達到自動化的程度，他們還需要花很大一部分注意力給運算，這樣就幹擾或減少了在問題解決上認知的投入。

在第一個階段，與之相應的內部認知過程為“圖式”的搜索與提取。這在前文中已經講過，在學習者的頭腦中貯存著關於時間、速度、工程問題等領域的圖式，在轉化過程中會在頭腦中進行搜索，有相關的圖式則按照圖式解決問題，若沒有，則將已有的知識與現有的問題相互作用，尋找解決方案。

第二個階段是數學運算，所涉及的內部認知過程為自動運用數學規則。至於這些規則首先是如何被習得的，前麵我們在講規則的學習中已經具體講過了，這裏不做討論。這裏要強調的是，中小學生應該貯存大量的規則，並達到自動化的程度，即執行運用它們的時候達到僅需要少量注意力的程度。

第三個階段是檢驗解決方案階段。為了確保問題已經正確解決，學習者必須檢驗結果的正確性，或者說其結果是否有意義。結果的檢驗可以通過運用規則進行，就像用加法來檢驗減法的計算是否正確，當然也可以用評估的方式。這樣在問題解決的評估中，就可能涉及如何進行評估的問題，可能又會使用到以往的圖式。就像前麵提到的19×20的例子，隻要稍微懂得估算的學生，就不會得出3800這樣的結果了。這也從另外一個方麵說明了他們在檢驗結果方麵的能力還很欠缺。

數學運算技能的自動化在小學低年級的教學中顯得尤為重要，根據學習的層級理論，下位知識未能掌握則必定認知過程。

影響新知識的學習效果。由此，加涅提出了數學低年級教學中促進運算自動化的一些方法。

首先，教師需要關注的是第一階段從問題情境到數學表達式的轉換過程中圖式的重要性。這就需要教師為學生提供各種不同的問題情境，並有意地將各種問題情境分類進行教學，以便使學生建立起不同的問題解決的圖式。

其次，教學中要有意識的教給學生對解決方案或者結果進行驗證的方法。比如說評估、求近似值等。這對於學習者的自我檢驗，以及建立信心極為重要。

最後，在數學運算階段，教師需要明白規則的學習不是了解，也不是掌握，而是自動化。練習是實現自動化最好的方法，教師需要通過間隔練習，或是各種競爭遊戲等來實現運算的自動化。