一
在本年七月十三日的《申報本埠增刊》裏載著一幅很大的廣告，是美商上海棕欖公司的，現在擇要抄在後麵。
遊戲規則：
一、一切規則均參照雀牌，棕欖香皂四字代替東南西北；珂路搿三字代替中發白；棕欖香皂、絲帶牌牙膏及棕欖皂珠的三種圖形則代替筒、條、萬。
二、按照雀牌規則，由本公司總經理及華經理馬伯樂先生在下圖五十六隻中，撿出十四隻排定和牌一副，送至上海銀行封存在第三四一零號保管箱中，至開獎時請公證人啟視，以表鄭重。
三、參加遊戲者隻可在下圖五十六隻中撿出十四隻排成和牌一副，如與本公司所排定的和牌完全相同，則贈送無線電收機音一台。
四、本公司備同款收音機十台，作為贈品，僅以十座為限。如猜中者超過十人，則再用抽簽法決定……
五、參加遊戲需附寄大號棕欖香皂綠包紙及黑紙帶各一，空函無效。每人最多隻能猜四次，每猜一次均需紙、帶各一。
有幾位朋友和我談起這“棕欖謎”的時候，他們隨口就問：“從這五十六隻中選出十四隻排定和牌一副，究竟有多少種排法？”這本來隻是數學上的一個計算問題，但要回答這一個確數，卻不容易。倘若讀者先想定一個答數，讀完這篇文章後再來比較，我相信大多數的人都會吃驚不已的。
初學數學的人常常會提出這樣的問題：“一個題目到手，應當怎樣入手呢？”因為他們見到別人解答題目好像不費什麽力，便覺得這裏麵一定有什麽秘訣。其實科學中無所謂秘訣，要解答題目，隻有依照一定的程序去思索。思考力經過訓練後，這程序能夠應用得比較純熟，就容易使別人感到神妙了。學問本是嚴正的東西，並非變戲法，哪兒有什麽神奇、奧妙？
本文目的：一是說明數學中叫作組合（Combination）的這一種法則；二是說明思索數學題目的基本態度。平常我們在數學教科書中所遇到的問題都是編者安排好了的，要解答總有一定的法則可以應用，思索起來也比較簡單。這裏所用的這個題目既不是誰預先安排的，用來說明思索的態度比較周到些。不過頭緒繁複，大家得耐著性子，死書以外的題目沒有不繁複的呀。
二
一個題目到手，在思索怎樣解答以前，必須對它有明確的認識：這題目中所含的意義是什麽？已知的事項是什麽？所要求出的事項是什麽？這些都得辨別清楚，這是第一步。常常見到有些性急的朋友，題目還隻看到一半，便動起手來，這自然不會做對。假如我的經驗可靠，那麽不但要先認清題目，而且還需將它記住，才去想。對題思索，在思索的進展上往往會生出許多紛擾。
認清題目以後，還有一步工作也省不來，那就是問一問“這題目是可能的嗎”？數學上的題目，有些是表麵上看起來非常容易，而一經著手便束手無策的。初等幾何中的“三等分任意角”，代數中的“五次方程式——其實是五次以上的——一般的解法”，這些最後都歸到不可能的領域中了。
所謂題目的不可能，一種是主觀的能力，一種是客觀的條件。隻學過算術的人，三減五是不可能，這是第一種。三等分任意角，這是第二種，因為初等幾何的作圖，隻許用沒有刻度的尺和圓規兩種器械。此外還有一種不可能，便是題目所給的條件不合或缺少，比如“雞兔同籠共三十個頭，五十隻腳，求各有幾隻”，這是條件不合，因為三十隻全是雞也得有六十隻腳。至於條件缺少，當然是不可能的。有一次我和孩子背九九乘法表，自然他對我隻有驚異，但是他很頑皮，居然要製服我，忽然這樣問道：“你會算，一間房子有幾片瓦嗎？”這我當然回答不上來，這是條件不夠。我隻能夠在知道一間房子有幾行瓦，每行有幾片的時候算它的總數。
判定一個題目是否可能，照這裏所說的看來，是解題以前的工作。但有些題目要判定它的不可能，還要給出一個不可能的理由來，不一定比解答題目容易，即如“三等分任意角”這一類就是經過不少的人研究才判定的。所以這裏所說的隻限於比較容易判定的範圍，在這個範圍內，能夠判定所遇到的題目是否可能——主觀的或客觀的——對於學數學的人來說與解答問題一樣重要。自然對於好的——編製和印刷上——教科書，我們可以相信那裏麵的題目總是可能的，遇到題目就向積極方麵去思索，但這並不是正當的途徑。
三
所遇到的題目，經過一番審度已是可能的了，自然就是思索解答的方法。這種思索有沒有一定的途徑可循呢？因為題目的不同，要找一條通路，那是不可能的，不過基本的態度卻可以說一說。用這樣的態度去思索題目的解法，雖不能說可以迎刃而解，但至少不至於走錯路。若是經過了訓練，還能夠不至於多繞不必要的彎兒。
解答一個題目，需要的能力有兩種：一是對於那題目所包含的一些事實的認識；一是對於解答那題目所需的數學上的法則的理解。例如關於雞兔同籠的題目，雞和兔每隻都隻有一個頭，雞是兩隻腳，兔是四隻腳，這是題目上不曾說出而包含著的事實。倘若對於這些事實認識不充足，對於這類的題目便休想動手。至於解這個題目要用到乘法、減法、除法，若對於這些法則的根本意義不曾理解，那也是束手無策的。
現在我們轉到“棕欖謎”上去。然而先得說明，我們要研究的是究竟有多少猜法，而不是怎樣可猜中——照數學上說來，差不多是猜不中的，即使有人猜中，那隻是偶然的幸運。
我們要解答的題目是：
在所繪的五十六張牌中，照雀牌規則撿出十四隻來排成和牌一副，有多少種撿法？
這題目的解答就客觀的條件說當然是可能的，因為從五十六張牌中撿出十四隻的方法有多少種，可以用法則計算。在這些中，隻要減去照“雀牌規則”排不成和牌的數目就行了。客觀的條件既然是可能的，那麽，我們就盡量使用我們的能力吧。
解答這個題目我們首先需要知道的是些什麽呢？
從事實上說，應當知道依照雀牌的規則，怎樣叫作一副和牌。
從算理上說，應當知道從若幹東西中取出多少來的方法，應當怎樣計算。
四
我相信所謂雀牌，讀者當中十分之九是認識的，所以這裏不來說明了。至於怎樣玩法，知道的也許沒有這般普遍，但這裏不是編雀牌講義，也用不到說。隻有所謂的一副和牌非說明不可。
十四張牌，若可湊成四組三張的和一組兩張的，這便是和了。為什麽說湊成呢？因為並不是隨便三張或兩張都有成為一組的資格。照雀牌規則，三張成一組的隻有兩種：一是完全相同的；二是花色——如所謂筒、條、萬——相同而連續的，如一、二、三筒，二、三、四條，三、四、五萬等。至於兩張成一組的那隻有對子才能算數。
以所繪的五十六張為例，那麽“棕棕棕，欖欖欖，香香香，皂皂皂，珂珂”便是一副和牌，而圖中的十二隻香皂再任意配上別的一對也是一副和牌，因為十二隻香皂恰好可排成“一一一，二三四，五六七，七八九”四組。
五
從若幹件東西中取多少件的方法，應當怎樣計算呢？比如你約了九個朋友，總共十個人，組織一個數學研究會，要選兩個人做幹事，這有多少方法呢？
假如你已看過從前中學生的《數學講話》，還能記起所講過的排列法，那麽這便容易了。假設兩個幹事還分正、副，那麽這隻是從十件東西中取出兩件的排列法，它的總數是：
10P2=10×9=90
但是前麵並沒有說過分正、副，所以在這九十種中，王老三當正幹事，李老二當副幹事，與李老二當正幹事，王老三當副幹事，在本題隻能算一種。因此從十個人當中推兩個出來當幹事，實際的方法隻是：
10P2÷2=90÷2=45
同樣地，假如你要在A、B、C、D……二十六個字母中，取出兩個來做什麽符號，若所取的次序也有關係，AB和BA以及BC和CB……兩兩不相同，則你的取法共是：
26P2=26×25=650
若所取的次序沒有關係，AB和BA以及BC和CB……就兩兩相同，隻能算成一種，則取法共是：
26P2÷2=650÷2=325
由此可以推到一般的情形去，從n件東西裏取出兩個來的方法，不管它們的順序，則總共的取法是：
到了這一步，我們的討論還沒完，因為所取的東西都隻有兩件，若是三件怎樣呢？在你組織的數學研究會中，若是舉的幹事是三人，總共有多少選舉法呢？
假定這三個幹事的職務不同，比如說一個是記錄，一個是會計，一個是庶務，那麽推選的方法便是從十個當中取出三個的排列，而總數是：
10P3=10×9×8=720
但若不管職務的差別，則張、王、李三個人被選出來後，無論他們對於三種職務怎樣分擔都是一樣的，隻好算是一種選舉法。因此我們應當用三個人三種職務分擔法的數目去除前麵所得的720，而三個人三種職務的分擔法總共是：
3P3=3×2×1=6
所以從十個人中選出三個幹事的方法共是：
同樣地，若從A、B、C、D……二十六個字母中取出三個，不管它們的順序，則總數是：
因為在26P3的各種排列中，每三個字母相同隻有順序不同的（如ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA）隻能算成一種，就是3P3當中的各種隻算成一種。
從這裏我們可以看出來，前麵計算取兩個的例子，我們用2作除數，在算理上應當是：
於是我們可以得出一般的公式來，從n件東西中，取出m件的方法應當是：
若用nCm來代替“從n件東西中取m件”的總數，則
這個公式便是一般的計算組合的式子，為了便當一些，還可以將它的形式變更一下；
舉個例說，若在十八個球員中選十一個出來和別人比賽，推舉的方法總共便是：
這是依照了公式（1）計算的，實際我們由公式（2）計算更簡捷些，
nCm=nC（n-m）這個性質，從實際推想出來的，非常有趣味。前麵是說從n件裏麵取出m件，後麵是說從n件裏麵取出（n-m）件，這兩樣的數目當然是一樣的。你若要追問怎樣說是“當然”，那麽，你可以這樣想：比如一隻口袋裏麵裝有n件小玩意兒，你從口袋裏摸出m件，那裏麵所剩的便是（n-m）件。你的摸法不同，口袋裏的剩法也不同。你有若幹種摸法，口袋裏便跟著有若幹種剩法。摸法和剩法完全是就你自己的地位說的，就東西說，不過分成兩組，一在口袋外，一在口袋裏罷了。那麽，取和舍的方法相同不是當然的嗎？
組合的基本計算不過這麽一回事，但這裏有一點應當注意，上麵所說的n件東西是完全不相同的，若其中有些相同，計算起來便有些不一樣了。關於這一層疑惑，讀者倘若還要知道得更詳細些，最好自己去想一想，不然請看教科書去吧。歸到棕欖謎上去，假如五十六張全不相同，那麽撿出十四張的方法便是：
六
照理論說，既然已經知道從五十六張全不相同的牌中取出十四張的方法的數目，進一步將相同而重複的數目以及不成一副和牌的數目減去，便得所求的答案了。然而說起來容易，做起來卻不簡單。實際上要計算不成一副和牌的數目，比另起爐灶來計算能成一副和牌的數目更繁雜。我們另走一條路吧！
照雀牌的規則仔細想一想，每一張牌要在一副和牌中能占一個位置，都必得和別的牌聯絡，六親無靠隻有被淘汰。因此，我們研究和牌的形式不必從每一張上去著想，而可改換途徑用每一組做單元。
那麽，所繪的五十六張牌中，三張或兩張一組，能夠有多少組是有資格加入到和牌裏去呢？
要回答這個問題，我們先將所有的材料來整理一下，五十六張中，就花色說，數目的分配是這樣的：
（1）字：
棕3欖3香3皂3珂3路3搿4（2）花色：這些材料參照雀牌規則可以組成三張組和二張組的數目如下：（1）字：
（a）三同色組：棕、欖、香、皂、珂、路、搿各1組，共7組（b）三連續組：無
（c）對子組：棕、欖、香、皂、珂、路、搿各1組，共7組（2）花色：
各組數目的計算，三同色組和對子組是已有的材料一望就可知道的，隻有三連續組，就是從1、2、3、4、5、6、7、8、9九個自然數中取三個連續的方法，關於這一種數目的計算和前麵所說的一般的組合法顯然不同。這有沒有一定的公式呢？直截了當地回答“有”。
設若有n個連續的自然數，要取2個相連續的，那麽取的方法總共就是：
n?2?1 =n ?2+1 =n ?1
因為從第一個起，將第二個和它相連得一種，接著我們將第三個去換第一個又得一種，再將第四個去換第二個又得一種，依次下去，最後是將第n個去換第（n-2）個。所以n個中除去第一個外，共有（n-1）個都可和它們前麵一個相連成一種，因而總共的方法便是（n-1）種。為什麽上麵的式子一開始我們要寫成n?2?1呢？因為每組要兩個，全數中就有一個是沒有前麵的數供它連上去的。
由此可以知道，在n個連續的自然數中，要取3個連續數的方法共是：
n?3?1 =n?3+1=n ?2
因為是3個一組，所以最前麵便有（3-1）個沒有前麵的數供它們連上去。
由這個公式，9個連續的自然數中，要取3個連續數的方法便是：
9?3?1=9?2=7
上麵的公式推到一般去，就是從n個連續的自然數中取m個連續數的方法，總共是：
n?m?1=n?m +1
七
照前麵計算的結果，三張組總共是31組，對子組總共是11組，而一副和牌所包含的是四個三張組和一個對子組。我們很容易想到隻要從31組三張組中取出4組，再從11組對子組中取出1組，兩相配合，便成一副和牌。而三張組的取法共是31C4，對子組的取法共是11C1。因為兩種取法中的任何一種都可以同其他一種中的任何一種配合，所以總數便是：
然而這個數目太大了，因為這些配合法就所繪的材料來說有些是不可能的。從31組三張組中取4組的總數是31C4，但因為材料的限製，實際上並不能這麽自由。比如取了香皂的三同色組，則它的三連續組中的“一二三”這一組就沒有了；若取了三連續組中的“一二三”這一組，則“二三四”和“三四五”這兩組也沒有了。還有將對子配上去，也不是盡如人意的事，既取了某一種的三同色組，則那一色的對子組便沒有了；又如取了香皂的“五六七”或“六七八”或“七八九”，則香皂“七”的對子組也就沒有了。
從上麵所得的346115種中減去這些不可能的數，那麽便是我們所要求的了。然而要找這個減數，依然很繁雜。
還有別的方法嗎？
八
為了避去不可能的取法，我們試就各種花色分開來取，然後再相配成四組。
（1）字：這類的三張組總共是7組，所以取一組、二組、三組、四組的方法相應地是：
（2）花色：
這個表中隻取一組的數目是用不到計算就可知道的，取二組的數目兩項的計算法如下：
（a）含三同色組的：本來一種花色隻有一組三同色組，所以隻需從三連續組中任取一組同它配合便可以了。不過7組當中有一組是含一（香皂和皂珠）或九（牙膏）的，因為一或九已用在三同色組中，不能再有。因此隻能在6組中取出來配合，而得1×6C1=6。
（b）不含三同色組的：
就香皂說，分別計算如下：
（Ⅰ）含“一二三”組的：這隻能從四、五、六、七、八、九6個連續的自然數中任取一個三連續組同它配合，依前麵的公式得6-3+1=4。
（Ⅱ）含“二三四”組的：照同樣的理由共5-3+1=3。
（Ⅲ）含“三四五”組的：4-3+1=2。
（Ⅳ）含“四五六”組的：和（I）中相同的不算，共是3-3+1=1。
（Ⅴ）含“五六七”組的：和上麵相同的不算，隻有“七八九”一組和它相配，所以也是1。
五項合計就得4+3+2+1+1=11。
但就牙膏和皂珠說，（Ⅴ）這一組是沒有的，因此隻有10組。
取三組的計算法，根據取二組的數目便可得出：
（a）含三同色組的：就香皂說，取（Ⅱ）到（Ⅴ）各組中的任一組和三同色組配合便是，所以總數是7。在牙膏或皂珠中因為缺少（Ⅴ）這一項，所以總數隻有6。
（b）不含三同色組的：就香皂說，可分為幾項，如下：
（Ⅰ）含“一二三”組的：隻有前麵的（Ⅳ）和（Ⅴ）中各組相配合，所以總數是2。
（Ⅱ）含“二三四”組的：隻有前麵的（Ⅴ）可配合，所以總數是1。
兩項合計便是3。
但就牙膏或皂珠說，都隻有“一二三”“四五六”“七八九”1種。
至於四組的取法，這很容易明白，用不到計算了。
九
依照雀牌的規則，一副和牌含有四組三張組，我們現在的問題便成了就前麵所列的各種組別來相配。為了便於研究，用含有字組的多少來分類，這比較容易明白。
（1）四組字的
這一種很容易明白就是：7C4=35
（2）三組字的
三組字的取法共是7C3，將每種和花色中的任一組相配就成了四組，而花色中共是24組，所以這種的總數是：7C3×24C1=35×24=840
（3）二組字的
二組字的取法共是7C2，將花色組和它配成四組，這有兩種辦法：
（a）兩組花色相同的（同是香皂或牙膏或皂珠）：隻需在二組花色的取法中，任用一種相配合。而兩組花色相同的取法共是6+11+6+10+6+10=49，所以配合的總數是：
7C2×49C1=21×49=1029
（b）兩組花色不同的：這就是說在香皂、牙膏、皂珠中，任從兩種中各取一組和兩組字相配合。第一步，從三種中任取二種的方法共是3C2。而每一項取法中，各種取一組的方法都是8C1，因此配成兩組的方法是8C1×8C1，由此便可知道總共的配搭法是：
（4）一組字的
一組字的取法共是7C1，需將三組花色同它們配合，這便有三種配合法：
（a）三組花色相同的：三組花色相同的取法共是7+3+6+1+6+1=24，在這24種中任取一組和任一組字配合的方法是：
7C1×24C1=7×24=168
（b）兩組花色相同的：若是從香皂中取兩組，在牙膏或皂珠中取一組，配合的方法都是17C1×8C1，所以共是17C1×8C1×2。但若從牙膏中取兩組，而在香皂或皂珠中取一組，配合的方法都是16C1×8C1，所以共是16C1×8C1×2。從皂珠中取兩組的配法自然也是16C1×8C1×2，由此，這一類花色的取法共是：
將這中間的任一種和任一組字配合就成為四組，而配合法共是：
（c）三組花色不同的：這隻能從香皂、牙膏、皂珠中各取一組而配合成三組，所以配合法隻有8C1×8C1×8C1，再同一組字相配的方法是：
（5）無字組的：這一種裏麵，我們又可依照含香皂組數的多少來研究。
（a）四組香皂的：前麵已經說過這隻有1種。
（b）三組香皂的：香皂的取法是10種，每一種都可以同一組牙膏或皂珠配合，而牙膏和皂珠取一組的方法是16C1，所以總共的配合法是：
（c）兩組香皂的：這有兩種配合法：（Ⅰ）是同兩組牙膏或皂珠相配；（Ⅱ）是牙膏和皂珠各一組相配。（Ⅰ）的配合法共是17C1×16C1×2。（Ⅱ）的配合法是17C1×8C1×8C1，所以總共是：
（d）一組香皂的：這也有兩種配合法：（Ⅰ）同三組牙膏或皂珠相配；（Ⅱ）同兩組牙膏、一組皂珠或一組牙膏、兩組皂珠相配。（Ⅰ）的配合法是 8C1×7C1×2。（Ⅱ）的配合法是 8C1×16C1×8C1×2，所以總共是：
（e）沒有香皂的：這有三種配合法：（Ⅰ）三組牙膏一組皂珠配合法是7C1×8C1。（Ⅱ）兩組牙膏兩組皂珠，配合法是16C1×16C1。（Ⅲ）一組牙膏三組皂珠，依同理配合法是8C1×7C1，所以總共是：
到了這裏我們可以算一筆四組配合法的總賬，這不用說是一個小學生都會算的加法。雖然如此，還得寫出來：
35+840+1029+4032+168+5488+3584+1+160+1632+2160+368=1,9497到這裏百尺竿頭，隻差一步了。在這19497種中各將一個對子配上去，便成了和牌。
十
就所有材料說，總共有11個對子，倘使材料可以自由使用，因為每一種四個三張組同一對相配都成一副和牌，所以總數應當是：
然而這214467副牌中有些又是不可能的了。含著某一種三同色組的，那一色的對子便沒有。而含有香皂“五六七”“六七八”“七八九”中的一組的，香皂七的對子也沒有了。這麽一想，配對子上去也不是一件簡單的事呀。因為這個原因，計算配對子的方法還得像前麵一樣分別研究。字的變化比較少而且規則單純，所以仍然以含字組的數目為標準來分類。
（1）四組字的
在這一種裏麵，因為用了四種字，所以每副隻有3個字對子可配合，但4種花色對子卻全可配上去。因此每種都有7個對子可配而成七副和牌，總共可成的和牌數便是：
（2）三組字的
這一種裏麵，因為用了三種字，所以字對子每副隻有4個可配，而花色對子的配合法比較複雜，得另找一個頭緒計算。單就配字對子的說，總數是：
凡是含有香皂或牙膏或皂珠的三同色組的，那一種花色的對子便不能有，所以每副隻有3個花對子可配合。而含三字組同著一組花色三同色組的，共是7C3×3，因此可成功的和牌數是：
凡不含香皂、牙膏和皂珠的三同色組的，一般說來，每副都有4個花色對子可配；隻有含香皂“五六七”“六七八”“七八九”三組中的一組的，少了一個香皂的對子七。花色的三連續組取一組的方法共是21C1和字三組的配合法便是7C3×21C1，將花色對子分別配上去的總數是7C3×21C1×4，而內中有7C3×3C1種是含有香皂七的，少一對可配的對子，所以這一種能夠配成和牌的數目是：
（3）二組字的
這一種裏麵，依前麵所說過的同一理由，每一副有5個字對子可配合，這樣配成的和牌的數目是：
對於花色對子的配合，因為所含花色的三隻組的情形不同，可分成以下三項：
（a）含一組香皂或牙膏或皂珠的三同色組的，一般來說有3個花色對子可配，而三隻組的配合法是：（Ⅰ）兩組花色相同的7C2×18C1。（II）兩組花色不同的7C2×1×7C1×3C2，總共就是7C2×18C1 +7C2×1×7C1×3C2，將3個花色對配上去，共是：
不過含有香皂七的，依然少一對可配合，應當從2457中將這個數減去。而它是7C2×3C1×3C1=189，這裏第一個3C1是花色中三同色組取一組的方法。第二個3C1是香皂中的“五六七”“六七八”“七八九”三個三連續組取一組的方法，所以這一項總共可成的和牌數是2457-189=2268。
（b）含兩組香皂、牙膏、皂珠三同色組的，每副隻有2個花色對子可配合，可成的和牌數是：7C2×3C2×2=126
（c）不含香皂、牙膏、皂珠等三同色組的，一般來說有4個花色對子可配合，而總數是：（7C2×31C1+7C2×7C1×7C1×3C2）×4=1,4952
這裏麵自然也要減去沒有香皂七的對子可配合的數。這種數目：（Ⅰ）就兩組花色相同的說是7C2×10=210，因為在香皂中，不含三同色組的兩組的取法雖有11種，而除了“一二三，四五六”一種外都是含有香皂七的；（Ⅱ）就兩組花色不同的說是7C2×3C1×7C1×2=882，3C1是從香皂的“五六七”“六七八”“七八九”三組中取一組的方法，7C1是從牙膏或皂珠中取一組三連續的方法，而對於牙膏和皂珠的情形完全相同，因此用2去乘。總共應當減去的數是210+882=1092，所以這種的和牌數是：14952-1092=13860
（4）一組字的
這一種裏麵，每一副都有6個字對子可以配合，這樣配成的和牌總數是：（7C1×24C1+7C1×49C1×8C1×2+7C1×8C1×8C1×8C1）×6=5,5440
至於配搭花色對子，也需分別研究，共有四項：
（a）含一組香皂或牙膏或皂珠三同色組的，一般來說有3個花色對子可配合。而含一組花三同色組的取法，又可分為三項：（Ⅰ）三 組 花 色 同 的， 共 有7C1×19C1；（Ⅱ）兩 組 花 色 相 同的， 共 有7C1×18C1×7C1×2+7C1×31C1×1×2；（Ⅲ ） 三 組 花 色 不同 的，共 有7C1×3C1×7C1×7C1。因 此，可 以配 成和 牌的 數目 是：（7C1×19C1+7C1×18C1×7C1×2+7C1×31C1×1×2+7C1×3C1×7C1×7C1）×3=10080
在（Ⅰ）中所有和香皂配合的，都沒有香皂七的對子可配，這個數目是 7C1×7C1，在（Ⅱ ）中含兩組香皂的有 7C1×3C1×7C1×2+7C1×10C1×1×2種香皂七的對子不能配合，而含牙膏或皂珠兩組的各有7C1×6C1×3C1種不能和它配合，所以（Ⅱ）裏應減去7C1×3C1×7C1×2+7C1×10C1×1×2+7C1×6C1×3C1×2。在（Ⅲ）中含有牙膏或皂珠三同色組的各有7C1×7C1×3C1種不能和它配合，因此應減去的數是7C1×7C1×3C1×2，而總共應當減去7C1×7C1+7C1×3C1×7C1×2+7C1×10C1×1×2+7C1×6C1×3C1×2+7C1×7C1×3C1×2=1029
因而這一項可成的和牌數是：10080-1029=9051
（b）含二組香皂、牙膏和皂珠三同色組的，一般來說隻有2個花色對子可配合。這項當中，四組三張組的配合法，可以這樣設想：由花色的三組三同色組取兩組，而在各三連續組中取一組，前一種的取法是3C2，後一種的取法是19C1。因為三種花色中雖共有21組三連續組，但某兩種花色既取了三同色組就各少去了一組三連續組，所以隻有19組可用。合計起來總共的和牌配合法是： 7C1×3C2×19C1×2=798
這裏麵應當減去不能和香皂七對子相配合的數是：7C1×3C2×3C1=63
所以可成的和牌數是：798-63=735
（c）含三組香皂、牙膏和皂珠三同色組的，這隻有香皂七的對子可配合。和牌的數是：7C1×1=7
（d）不含香皂、牙膏，以及皂珠的三同色組的，一般來說有4個花色對子可配合。這也可分成三項研究：（Ⅰ）三組花色相同的，共是7C1×5C1；（Ⅱ）兩組花色相同的，共是7C1×31C1×7C1×2；（Ⅲ）三組花色不同的，共是7C1×7C1×7C1×7C1。因此同對子搭配起來總共是：（7C1×5C1+7C1×31C1×7C1×2+7C1×7C1×7C1×7C1）×4=2,1896
所應當減去的：在（Ⅰ）中是7C1×3C1，因為含三組香皂的，香皂七的對子都不能配合，而且也隻有這些不能；在（Ⅱ）中含兩組香皂的有7C1×10C1×7C1×2不能和它配合。含其他兩組同花色的，各有7C1×10C1×3C1 種不能同它配合，共是 7C1×10C1×7C1×2+7C1×10C1×3C1×2；在（Ⅲ）中共有7C1×7C1×7C1×3C1不能和它配合，所以總共應當減去的數是：7C1×3C1+7C1×10C1×7C1×2+7C1×10C1×3C1×2+7C1×7C1×7C1×3C1=2450
而這一項中可成的和牌數是：21896-2450=19446
（5）無字組的
這一種裏麵，每副都有7個字對子可配合，這是極明顯的，這裏仍照前麵的分項法研究下去：
（a）四組香皂的：7個字對子和2個花色對子（牙膏的和皂珠的）可配合，所以總共可成的和牌數是：1×（7+2）=9
（b）三組香皂的
（Ⅰ）字對子的配法是：10C1×8C1×2×7=1120
（Ⅱ）花色對子的配法，因為含有三組香皂，所以香皂七的對子都不能相配，若隻含一組三同色組的，有2個花色對子可配，這樣的數是（7C1×7C1×2+3C1×1×2）×2。若含兩組三同色組的隻有1個花色對子可配合，這樣的數目是7C1×1×2×1，因此總共的和牌數是：
（7C1×7C1×2+3C1×1×2）×2+7C1×1×2×1=222
至於不含三同色組的，卻有3個花色對子可配，而和牌總共的數目是：3C1×7C1×2×3=126
合計起來這一項共是：222+126=348
（c）兩組香皂的
（Ⅰ）字對子有7個可配，所以和牌的數目是：
（17C1×16C1×2+17C1×8C1×8C1）×7=11424
（Ⅱ）花色對子的配合還得再細細地分別研究。
（α）含有一組三同色組的，隻有3個花色對子可配合，總數是：
（6C1×10C1×2+6C1×7C1×7C1+11C1×6C1×2+11C1×1×7C1×2）×3=2100
而應當減去的數是：
所以這項的和牌數是：2100-467=1633
（β）含有兩組三同色組的，一般來說，隻有2個花色對子可配合，其中自然也得減去香皂七的對子所不能配合的，而和牌的總數是：
（γ）含有三組三同色組的，這隻有一部分不含香皂七的可以同香皂七的對子配合成和牌，這樣的數目是：3C1×1×1=3
（δ）不含三同色組的，一般來說有4個花色對子可配合，但也應當減去香皂七的對子所不能配合的，這一項和牌的總數是：
這四小項所得的數共是：1633+246+3+2346=4228
（d）一組香皂的
（Ⅰ）字對子也是7個都可以配合，所以這樣的和牌數是：
（Ⅱ）花色對子的配合：
（α）含一組三同色的
這裏第一個括孤中的前兩項是香皂取一組三同色的。而第一項是和牙膏或皂珠三連續組的三組配合，第二項是在牙膏或皂珠中取三連續組兩組和其他一種中的一組三連續組配合。香皂七的對子都配得上去。後三項是香皂取一組三連續組而和牙膏或皂珠的一組三同色組及別的兩組配合，所以這項中有些是香皂七的對子不能配的，應當減去。
（β）含兩組三同色組的，一般的隻有2個花色對子可相配，配合的情形依前一種可類推，和牌和總數是：（1×6C1×2+1×6C1×7C1×2+1×10C1×1×2+7C1×6C1×1×2）×2_3C1×6C1×1×2=364
（γ）含三組三同色組的，這自然隻有香皂七的對子可以配合了，和牌數是：1×6C1×1×2=12
（δ）不含三同色組的，一般來說有4個花色對子可配合，也應當減去香皂七的對子所不能配合的，所以和牌的總數是：
這四小項共是：2514+364+12+3550=6440
（e）沒有香皂的：這一項裏每副7個字對子和2個香皂的對子都可以去配合，這樣的和牌數目共是：（7C1×8C1×2+16C1×16C1）×（7+2）=3312
此外，就隻剩牙膏或皂珠的對子的配合了。隻含一組三同色組有1個對子可配合，一組不含的有2個對子可配合，所以和牌的數目是：（6C1×7C1×2+1×1×2+6C1×10C1×2）×1+（1×7C1×2+10C1×10C1）×2=434
讀者大概已是頭昏腦脹了，但是恭喜，恭喜，我們現在所差的隻是將這些分戶賬總結一下，這不過是一個中等的複雜加法而已。
所謂棕欖謎，究竟有多少猜法？要知謎底請看下麵：245+3360+315+2835+25305+2268+126+13360+55440+9051+735+7+19446+9+1120+348+11424+4228+15120+6440+3312+434=175428
這175428副和牌，還是單就雀牌的正規說。一般玩雀牌的人，還有和十三幺的說法，在西南幾省還有和七對的。
所謂十三幺，照棕欖謎說就是一副中，棕、欖、香、皂、珂、路、搿，香皂一、九，牙膏一、九，和皂珠一、九，十三隻都有而且有一張成對。在所繪的材料中除香皂九、牙膏一，和皂珠九不能成對外還有十種可以成對，所以十三幺的和法共有10種。
至於七對的和法，因為總共有12個對子可以做成——棕、欖、香、皂、珂、路、香皂一、香皂七、牙膏九、皂珠一各1對，搿2對——所以和法共是：
將這三種合起來，和牌的副數便是：
175428+10+792=176230
讀者倘若預先想到一個答數，看到這裏就得到了比較，我且問你，真實的數目和你預估的相差多少？
十一
現在我們可以說猜的話了。
照它的遊戲規則說，每人以四猜為限，你若規規矩矩地猜了四猜寄去，你的希望不過是：
就是四萬四千零五十八分之一還不到，依概率說，這實在太微弱了。
你也許可以這樣想，我們可以揣摩公司的心理，這樣，就比較有把握。但是倘若該公司排定的和牌不是偶然的，而有什麽用意，可以被別人揣摩到，那麽能猜中的人就一定不少。照它的遊戲規則所規定的，贈品僅以十台為限，如猜中者超過十人，則再用抽簽法決定，所以你就是猜中了，得獎的希望還是不大。從少數說，比如有二十個人猜中，那麽你也不過有一半的希望。因為從二十個人中抽出十個人的方法總共是20C10，能夠抽到你的機會是19C9，你的希望便是：
是的，一半的希望本不算小，但由揣摩心理去猜中，這是多少渺茫嗬！
事情的成功本來有兩條路，一是“碰”，一是“幹”。你猜四猜希望中，這是碰；碰的希望如此小，你也許會想到，既然有一定的數目，無妨硬幹，用四萬四千零五十八個名字，各種和牌都猜去，自然一定會中的。然而，朋友，你別忙著開心，這一來不可能，二來即使可能也倒黴。
為什麽不可能？
總共十七萬六千二百三十副和牌，照它的規定，要你從圖上將撿定的十四張剪貼在參賽券上。就算你很敏捷，兩分鍾可以剪貼成一張，你也很勤奮，每天可以連續不斷地剪貼十二個小時，我們來算算看。
兩分鍾剪貼一張，一小時可剪貼三十張，一天工作十二小時，總共也不過可剪貼三百六十張。要全部剪貼完，就要四百八十九天六小時二十分鍾。你每天都不中斷，也需一年四個多月。然而遊戲的截止日期是本年九月十日，怎麽能實現呢？
為什麽也有可能倒黴？
依遊戲規則，每一猜需附寄大號棕欖香皂綠包紙及黑紙帶各一。這就是說你要猜一條就得買一塊大號棕欖香皂，所以你要全猜需得買十七萬六千二百三十塊。照平常的價錢每塊要二角六分，就算你買得多打對折也要一角三分，而總共就要二萬二千九百零九元零九分，你有這麽多的閑錢嗎？再進一步想，公司將香皂這樣賣給你，每塊不過賺你一分洋錢，他也就賺了一千七百六十二元三角。什麽最新式落地收音機，你還不如自己買，非要來費這事！
朋友F君說：綠包紙及黑紙帶可以想方設法去收集，一個銅元一副。好，就這麽辦吧！十七萬六千二百三十個銅元，照上海現在的行情說，算是三百個銅元一塊錢，也要五百八十七元四角三分，你又要用四萬多個信封，還不夠自己買一台收音機嗎？
硬幹，可能，你說用得著倒天下的大黴嗎？
還有一點我忘了寫出來，現在補上吧。
上麵所計算的和牌的數目十七萬多，這還隻就每副牌所包含的十四張的情形說的。遊戲規則說，參加遊戲者亦可在五十六張中撿出十四張“排”成和牌一副，如與本公司所“排定”的和牌“完全”相同……假如這項規定的本意不但要你猜中他所“排定”那一副和牌是用哪十四張，而且還需“排”貼得一樣，那麽，朋友，這個數目可夠你算了。一副和牌排法最多的，就是十四張中除一個對子外都不相同的，它的排法是：
而最少的——含有四組三同色組和一對的——也有十六萬八千一百六十八種排法。
十七萬多副和牌的排法共有多少，這個數不是夠你算了嗎？而算了出來，你有法說清楚嗎？
假如棕欖公司的經理是要你“排”得“完全”和他“排定”的相同，你要去猜，猜中的幾率豈不是如大海撈針嗎？
雖是這樣，將來總有十個人能夠將那“最新式落地收音機”擺在自己家裏，然而這是數學以外的問題。