“八仙過海”隻是一個玩意兒，我們隻能在遊戲場中碰到它，學校裏的教科書上是沒有的。老實說，平常研究這些玩意兒的朋友還多是目不識丁的中下階級的分子。然而，這些朋友專門喜歡找學生尋開心，他們會使得你驚奇，會使得你莫名其妙，最後給你一個冷嘲：“學校裏念書的人這都不知道！”原來在我們中國一般人的心裏都有個傳統的思想，“一物不知，儒者之恥”，讀書人便是儒者，所以不但應當知人之所不知，還應當知人之所知，不然就應當慚愧。傳統思想自然隻是傳統思想，其實又有誰真能做到事事都知呢？不過話雖如此，有些小玩意兒卻似乎應當知道，全都推脫，終不是一回事。“八仙過海”便是一個例子。隻要肯思索的朋友，我相信花費一兩個小時的時間就可以將這玩意兒的悶葫蘆打破。
但是為了這一點小玩意兒，便費去一兩個小時去思索，一天到晚所碰到的小玩意兒不知有多少，若都要思索，哪兒還有工夫讀書、聽講？而且單是這般地思索，最好的結果也不過是一個小玩意兒的思想家，究竟登不上大雅之堂。這樣一想，好像犯不上去思索了。那麽為什麽不將它也搬進教科書裏去呢？我們讀的教科書徹頭徹尾是洋貨，我們不自己搬進去，誰還來替我們搬不成？朋友，把我們的貨色搬到他們的架子上去，這是要緊的工作。在這裏，請容我再說幾句閑話。我說的是把我們的貨色搬到他們的架子上去，你切不可誤會，以為我是勸你將他們的貨色搬到我們的架子上來。我們有的是鐵和銅，用它們照樣造火車、造發動機，這叫將我們的貨色搬到他們的架子上去；他們有的是上帝和耶穌，用它們照樣和城隍財神一般地敬奉，這叫將他們的貨色搬到我們的架子上來。朋友，架子是他們的好，這用不著賭氣，貨色卻沒有什麽中外，都出自地殼。這雖隻說到一個比方，但在我們讀書的時候，它的根本含義卻很重要。不過說來話長，別的時候再詳談吧。好在我要談“八仙過海”，也就是搬我們的貨色到他們的架子上的一個例子，你若覺得還有意思，那就有點兒頭緒了。
我不知道你碰到過“八仙過海”這類的玩意兒沒有，為了說起來方便，還是先將它說明一番。
一個人將八個錢分上下兩排排在桌上，叫你看準一個，記在心頭。他將錢收起，重新排過，仍是上下兩排，又叫你看定你前次認準的那一個在哪一排，將它記住。他再將錢收起，又重新排成兩排，這回他叫你看，並且叫你告訴他你所看準的那一個錢這三次位置的上下。比如你向他說“上下下”，他就將下一排的第二個指給你。你雖覺得有點兒奇異，想抵賴，可是你的臉色也不肯替你隱瞞了。這個玩意兒就是“八仙過海”。這人為什麽會有這樣的本領呢？你會疑心他是偶然猜中的，然而再來一次、兩次、三次，他總不會失敗，這當然不是偶然了。你就會疑心他每次都在注意你的眼睛，但是我告訴你，他哪兒有這麽大的本領，隻瞥了你一眼，就會看準了你所認定的那個錢？你又以為他能隔著皮肉看透你心上的影子，但是除了這一件玩意兒，別的為什麽他又看不透呢？
這玩意兒的神妙究竟在哪裏呢？朋友，你既然喜歡和數學親近，大概總想受點兒科學的洗禮的，那麽，我告訴你，宇宙間沒有什麽是神妙的。假如真有的話，我想便是“一個人有了腦筋本是會想的，偏不肯去想，但是你若要將他的腦袋割去，他又非常不願意”這一件事實了。不是嗎？既不願用它，何必留它在脖子上？“八仙過海”不過是人想出來的玩意兒，何必像見鬼神一樣對它驚奇呢？你若不相信，我就把玩法告訴你。
這玩法有兩種：一種姑且說是非科學的，還有一種是科學的。前一種比較容易，但也容易被人看破，似乎未免寒磣；後一種卻較“神秘”些。
第一圖
先來說第一種。你將八個錢分成上下兩排照第一圖排好，便叫想尋它開心的人心裏認定一個，告訴你它在上一排或是下一排。
譬如他回答你是“上”，那麽你順次將上一排的四個收起，再收下一排的。然後將收在手裏的一堆錢（注意，是一堆，你弄亂了那就要垮台了），上一個下一個地再擺作兩排，如第二圖。你將兩圖比較起來看，一圖中上一排的四個到二圖中分成上下各兩個了。你再問他所認定的這次在哪一排。譬如他的回答是“下”，那麽第一次在上，這一次在下的隻有B和D，你就先將這兩個收起，再胡亂去收其餘的六個，又照第二次的方法排成上下兩排，如第三圖。在這圖裏B和D已各在一排，你再問他，若他說“上”，那他所認定的就是B，反過來，他若說“下”，當然是D了。
你看這三個圖，我在第二圖有四個圈沒寫字，在第三圖隻寫了兩個，這不是我忘了，也不是懶，空圈隻是表示它們的位置沒有什麽關係。
其實這種玩法道理很簡單，就是第二回留一半在原位置，第三回留下一半的一半在原位置。四個的一半是二，兩個的一半是一，這還有什麽猜不著呢？
我不是說這種方法是非科學的嗎？因為它實在沒有什麽一定的方式，不但A、B、C、D在第二圖可隨意平分排在上下兩排，而且還不一定要排在右邊四個位置，隻要你自己記清楚就好了。舉個例說，譬如你第一次將錢收在手裏的時候是這樣一個順序：A、B、E、F、G、H、C、D，你就可以排成第四圖（樣子很多，這裏不過隨便舉出兩種），無論在哪一種裏，其目的總在把A、B、C、D平分成兩排。同樣的道理，第三圖的變化也很多。
第四圖
老實說，這種玩法簡直無異於這樣：你的兩隻手裏各拿著四個錢，先問別人所要的在哪一隻手，他若說“右”，你就將左手的甩掉，從右手分兩個過去；再問他一次，他若說“左”，你又把右手的兩個丟開，從左手分一個過去，再問他所要的在哪隻手。朋友，你說可笑不可笑，你左手、右手都隻有一個錢了，他對你說明在左在右，還用你猜嗎？
所以第一種玩法是蒙混“侏儒”的小巧玩意兒。
現在來說第二種。
第五圖
第六圖
第二種和第一種的不同，就是錢的三次位置，別人是在最後一次才一口氣說出來，這倒須有點兒硬功夫。我還是先將玩法敘述一下吧。第一次排成第五圖的樣子，其實就是第一圖，“上下”指的是排數，“1，2……8”是錢的位置。你叫別人認定並且記好了上下，就將錢收起，照1、2、3、4、5、6、7、8的順序收，不可弄亂。
收好以後你就從左到右先排下一排，後排上一排，成第六圖的樣子。
第七圖
別人看好以後，你再照1、2、3、4、5……的次序收起，照同樣的方法仍然從左到右先排下一排，再排上一排，這就成第七圖的樣子。
在這麽一回，若他說出來的是“上下下”，那就是下一排的第二個；若他說“下下下”，那就是下一排的第四個。
為什麽是這樣呢？
朋友，因為擺成功是那樣的，我們無妨將八個錢三次的位置都來看一下：
A——上上上
C——上下上
E——下上上
G——下下上
B——上上下
D——上下下
F——下上下
H——下下下
這樣看起來，A、B、C、D……八個錢三次的位置沒有一個相同，所以無論他說哪一個你都可以指出來。
朋友，這次你該明白了吧？不過你還不要太高興，我這段“八仙過海指南”還沒有完呢，而且所差的還是最重要的一個“秘訣”。你難道不會想A、B、C、D……這幾個字隻有這圖上才有，平常的銅元上沒有嗎？即使你另有八個記號，你要記清楚上上上是A，下下下是H……這樣做也夠辛苦的了。在這裏卻用得到“秘訣”。所謂秘訣就是八個中國字：“王、元、平、求、半、米、鬥、非。”這八個字，馬虎點兒說，都可分成三段，若某一段中含有一橫那就算表示“上”，不是一橫便表示“下”，所以王字是上上上，元字是上上下……我們可以將這八個字和第七圖相對順次排成第八圖的樣子：
由第八圖，就可看明白，你隻要記清楚王、元、平、求……的位置順序和各字所代表的三次位置的變化，別人說出他的答案以後，你口中念念有詞地暗數應當是第幾個就行了。
譬如別人說下上上，那麽應當是“半”字，在第五位；若他說上下上，應當是“平”字，在第三位，這不就可以甕中捉鱉了嗎？
第八圖
暫時我們還不說到數學上麵去。我且問你，這個玩意兒是不是限定要八個錢不能少也不能多？是的，為什麽？假如不是，又為什麽？“是”或“不是”很容易說出口，不過學科學的人第一要緊的是既然下個判斷，就得說出理由來，除了對於那幾個大家公認的基本公理或假說，是不容許亂說的。
經我這樣板了麵孔地問，朋友，你也有點兒躊躇了吧？大膽一點兒，先回答一個“是”字。真的，顧名思義，“八仙過海”當然總共要八個，不許多也不許少。
為什麽？
因為分上下排，隻排三次，位置的變化總共有八個，而且也隻有八個。所以錢少了就有空位置，錢多了就有變化重複的。
怎樣知道位置的變化總共有八個，而且隻有八個呢？
不錯，這是我們應當注意到的問題的核心，但是我現在還不能回答這個，且把問題再來盤弄一回。
“八仙過海”這玩意兒總共有下麵的幾個條件：
（1）八個錢；
（2）分上下兩排擺；
（3）前後總共排三次；
（4）收錢的順序是照直行1由上而下，從第一行起；
（5）擺錢的順序是照橫排由左而右，從下一排起。
（4）（5）是排的步驟，（1）（2）（3）都直接和數學關聯。前麵已經回答過了，倘使（2）（3）不變，（1）的數目也不能變。那麽，假如（2）或（3）改變一下，（1）的數目將怎樣？
我簡單地回答你，（1）的數目也就跟著要變。換句話說，若排數加多“（2）變”或是排的次數加多“（3）變”，所需要的錢就不隻八個，不然便有空位要留出來。
先假定排成三排，那麽我告訴你，就要二十七個錢，因為上、中、下三個位置三次可以調出二十七個花樣。你不信嗎？請看下圖：
第九圖
第十圖
第十一圖
第九圖本來是任意擺的，不過為了說明方便，所以假定了一個從（1）到（27）的順序。
從第九圖，參照（4）（5）兩步驟，就可擺成第十圖。
從第十圖，參照（4）（5）兩步驟，就可擺成第十一圖。
現在我們來猜了。
甲說“上中下”——他認定的是6；
乙說“中下上”——他看準的是16；
丙說“下上中”——他瞄著的是20；
丁說“中中中”——他注視的是14；
……
總共二十七個錢，無論別人看定的是哪一個，隻要他沒有把三次的位置記錯或說錯，都可以拿出來。
這更奇妙了，又有什麽秘訣呢？
沒有，沒有，沒有，回答三個“沒有”或五個“沒有”。“八仙過海”的秘訣不過比一定的法則來得靈動些，所以才用得著。現在要找二十七個字可以代表上、中、下的位置變化，實在沒這般湊巧，即或有，記起來也一定不便當。那麽，怎樣找出別人認準的錢來呢？
好，你要想知道，那我們就來仔細考察第十一圖，我將它畫成第十二圖的樣子。
第十二圖
圖中分成三大段，你仔細看：第一段的九個是1到9，在第九圖中，恰好都在上一排，所以我在它的下麵寫個大的“上”字；第二段的九個是10到18，在第九圖中恰好都在中一排，所以下麵寫個大的“中”字；第三段的九個是19到27，在第九圖中恰好都是下一排，所以用一個大的“下”字指明白。
你再由各段中看第一行，它們在第十圖中都是站在上一排；各段中的第二行，在第十圖中都站在中一排；而各段的第三行，在第十圖中都站在下一排。
這樣，你總可明白了。甲說“上中下”，第一次是上，所以應當在第一段；第二次是中，所以應當在第一段的第二行；第三次是下，應當在第一段第二行的下一排，那不是6嗎？
又如乙說“中下上”，第一次是中，應當在第二段；第二次是下，應當在第二段的第三行；第三次是上，應當在第二段第三行的上一排，那不就是16嗎？
你再將丙、丁……所說的去檢查看。
明白了這個法則的來源和結果，依樣畫葫蘆，無論排幾排都可以，肯定成功，而且找法也和三排的一樣。例如我們排成四排，那就要六十四個錢，我隻將圖畫在下麵，供你參考。說明呢，不再重複了。至於五排、六排、十排、二十排都可照推，你無妨自己畫幾個圖去看。
第十三圖
第十四圖
第十五圖
譬如有人說“二四三”，那麽他看定的錢在第十五圖中的第二段第四行第三排，就是31；若他說“四三一”，那就應當在第十五圖中的第四段第三行第一排，他所注視的是57。
上麵講的是排數增加，排的次數不變。現在假定排數不變，隻是排的次數變更，再看有什麽變化。我們就限定隻有上下兩行排。
第一步，譬如隻排一次，那麽這很清楚，隻能用兩個錢，三個就無法猜了。
若排兩次呢，那就用四個錢，它的變化如下：
第十六圖
第十七圖
它的變化是：
1——上上
2——上下
3——下上
4——下下
三次就是“八仙過海”，不用再說。譬如排四次呢，那就用十六個錢，排法和上麵說過的一樣，變化的圖如下：
第十八圖
第十九圖
例如有人認定的錢的四次的位置是“上下下上”，那麽應當在第二十一圖中的第一段第二分段第二行的上排，是7；又如另有一個人說他認定的錢的位置是“下下上上”，那就應當在第二十一圖中的第二段第二分段第一行的上一排，便是13。
照推下去，五次要用三十二個錢，六次要用六十四個錢……喜歡玩的朋友無妨當作消遣去試試看。
總結一下：前麵說“八仙過海”的五個條件，由這些例子看起來，第一個是跟著第二、第三個變的。至於第四、第五，關於步驟的條件和前三個都沒有什麽直接關係。它們也可以變更。例如（4）我們也可以由下而上，或從末一行起，而（5）也可以由右而左從第一排起。不過這麽一來，所得的最後結果形式稍有點兒不同。
從我們所舉過的例子看，錢的數目是這樣：
（1）分兩排：
（a）排一次——2個
（b）排二次——4個
第二十圖
第二十一圖
（c）排三次——8個
（d）排四次——16個
（2）分三排：
（a）排一次——3個（我們可以想得到的）（b）排二次——？個（請你先想想看）
（c）排三次——27個
（d）排四次——？個
（4）分四排：
（a）排一次——4個（我們可以想得到的）（b）排二次——？個
（c）排三次——64個
（d）排四次——？個
這次卻真的到了底，我們要解決的問題是：“分多少排，總共排若幹次，究竟要多少錢，而且隻能要多少錢？”
上麵已舉出的錢的數目，在那例中都是必要而且充足的，說得明白點，就是不能多也不能少。我們怎樣回答上麵的問題呢？假如你隻要一個答案就滿足，那麽是這樣的：
設排數是a，排的次數是x，錢數是y，這三個數的關係如下：y=ax
我們將前麵已講的例代進去，看看這個話是否靠得住：
（1） （a） a=2，x=1， ∴y=21=2
（b） a=2，x=2， ∴ y=22=4
（c） a=2，x=3， ∴ y=23=8
（d） a=2，x=4， ∴ y=24=16
（2） （a） a=3，x=1， ∴y=31=3
（b） a=3，x=2， ∴y=32=9 （對嗎？）
（c） a=3，x=3， ∴ y=33=27
（d） a=3，x=4， ∴y=34=81 （？）
（3） （a） a=4，x=1， ∴y=41=4
（b） a=4，x=2， ∴y=42=16 （？）
（c） a=4，x=3， ∴ y=43=64
（d） a=4，x=4， ∴y=44=256 （？）
照這個結果來看，我們所用過的例子都合得上，那個回答大概總有些可靠了。就是幾個不曾試過的數，想起來也還不至於錯誤。不過單是這樣還不行，別人總得問我們理由。此刻是無可拖延，隻得找出理由來。
真要理由嗎？就是將我們所用過的例子合在一起用腦力去想，一定可以想得出來的。不過，這實在大可不必，有別人的現成架子可以裝得上去時，直接痛快地裝上去多麽爽氣。那麽，在數學中可以找到這一欄嗎？
可以。那就是順列法，我們就來說順列法吧。先說什麽叫順列法。
第二十二圖
有幾個不相同的東西，譬如A、B、C、D……幾個字母，將它們的次序顛來倒去地排，計算這排法的數目，這種方法就叫順列法。
順列法的計算本來比較複雜，而且一不小心就容易弄錯，要想弄清楚，自然隻好去讀教科書或是去請教你的數學教師。這裏不過說著玩玩，隻得限於基本的幾個法則了。
第一，我們來講幾個東西全體的、不重複的順列。這句話須得解釋一下，譬如有A、B、C、D四個字母，我們一齊將它們拿出來排，這叫全體的順列。所謂不重複是什麽意思呢？那就是每個字母在一種排法中隻需用一回，就好像甲、乙、丙、丁四個人排座位一樣，甲既然坐了第一位，其餘的三位當然不能再坐他的座位了。
要計算A、B、C、D這種排列法，我們先假定有四個位置在一條直線上，譬如是桌上畫的四個位置，A、B、C、D是寫在四個銅元上的。
第一步我們來就第一個位置想，A、B、C、D四個錢全都沒有排上去，所以無論我們用哪一種擺法都行。這就可以知道，第一個位置有4種排法。我們取一個錢放到了1，那就隻剩三個位置和三個錢了，跟著來擺第二個位置。
外麵剩的錢還有三個，第二個位置無論用這三個當中的哪一個去填它都是一樣。這就可以知道，第二個位置有3種排法。到了第二個位置也有一個錢將它占領時，桌子上隻剩兩個位置，外邊隻剩兩個錢了。
第三個位置因為隻有兩個錢剩在外麵，所以填的方法也隻有2個。
當第三個位置也被一個錢占領了時，桌上隻有一個空位，外麵隻有一個閑錢，所以第四個位置的排法便隻有1個。
為了一目了然，我們還是來畫一個圖。
仔細觀察第二十三圖第一位，無論是A、B、C、D四個當中的哪一個，A或B，或C，或D，第二位都有三個排法，所以第一、第二位合在一起共有的排法是：
4×3
而第二位無論是A、B、C、D中的哪一個，第三位都有兩個排法，所以一、二、三幾個位置連在一起算，總共的排法是：
4×3×2
至於第四位，跟著第三位已經定了，隻有一個方法，因此四個位置總共的排法是：
第二十三圖
4×3×2×1=24
我們由圖上去看，恰好總共是二十四排。
假如桌上有五個位置，外麵有五個錢呢？那麽第一個位置照前麵說過的有5種排法，第一位排定以後，下麵剩四個位置和四個錢，它們的排法便和前麵說過的一樣了，所以五個位置的錢的排法是：
5×4×3×2×1=120
前麵是從1起連續的整數相乘一直乘到4，這裏是從1起乘到5。假如有六個位置和六個錢，同樣我們很容易知道是從1起將連續的整數相乘乘到6為止，就是：
6×5×4×3×2×1=720
譬如有八個人坐在一張八仙桌上吃飯，那麽他們的坐法便有40320種，因為：
8×7×6×5×4×3×2×1=40320
你家請客常常碰到客人推讓座位嗎？真叫他們推來推去，要讓完這40320種排法，從天亮到天黑也讓不完呢。
一般的法則，假設位置是n個，錢也是n個，它們的排法便是：
n×（n_1）×（n_2）……×5×4×3×2×1
這樣寫起來太不方便了，不是嗎？在數學上，對於這種從1起到n為止的n個連續整數相乘的把戲，給它起一個名字叫“n的階乘”，又用一個符號來代表它，就是n！，用式子寫出來便是：
n的階乘=n！=n×（n_1）×（n_2）……×5×4×3×2×1所以 8 的階乘 =8 ！=8×7×6×5×4×3×2×1=40320
6 的階乘 =6 ！=6×5×4×3×2×1=720
5的階乘=5！=5×4×3×2×1=120
4的階乘=4！=4×3×2×1=24
3的階乘=3！=3×2×1=6
2的階乘=2！=2×1=2
1的階乘=1！=1
有了這個新的名詞和新的符號，說起來就便當了！“n個東西全體不重複的排列就等於n的階乘n！。”
但在平常我們排列東西的時候，往往遇見位置少而東西多的情形。舉個例說，譬如你有一位朋友，他運道來了，居然奉國民政府的命令去當什麽縣的縣長。這時你跑去向他賀喜，這自然是值得賀的，不是嗎？已升官就可發財了！但是當你看到他時，一眼就可以看出來，他的臉孔上直一條、橫一條的喜紋當中也夾著正一條、歪一條的愁紋。你若問他愁什麽，他定會告訴你，一個衙門裏不過三個科長、六個科員、兩個書記，薦人來的便簽倒有三四十張，這實在難於安排。
真的，朋友，莫怪你的朋友難於安排，他想不得罪人簡直不行！就算他隻接到三十張薦人的便簽，就算他的衙門裏從科長數到洗馬桶的總共要用三十個人，但是人全是兩道眉毛橫在兩隻眼睛上的，哪個會看得見自己的眉毛的粗細，哪個不想當第一科科長！倘使你的朋友請你替他安排，你左排也不是，右排仍然不是，你也隻得在臉上掛起愁紋來了。三十個人排來排去有多少？我沒有這樣的閑工夫去算，你隻要想，單是八的階乘就已有40320了，那三十的階乘將是多麽大的一個數！
筆一滑，又說了一段空話，轉到正文吧。
譬如你那朋友接到的便簽當中隻有十張是要當科長的，科長的位置總共是三個，有多少種排法呢？這就歸到第二種的順列法。
第二，我們來講幾個東西部分的、不重複的順列法。因為粥少僧多，所以隻有一部分人的便簽有效。因為國民政府的命令兼差不兼薪，沒有哪個人這般傻氣，吃一個人的飯肯做兩個人的事，所以排起來不重複。
從十張便簽中抽出三個來，分擔第一、第二、第三科的科長，這有多少法子呢？
朋友，你對於第一個法子若是真明白了，這一個是很容易的。
第一科長沒有定人時，十張便簽都有同樣的希望，所以這個位置的排法是10。
第一科長已被什麽人得去了，隻剩九個人來搶第二科的科長，所以第二個位置的排法是9。同一個道理第三個位置的排法是8，照第一種方法推來，這三個位置的排法總共應當是：
10×9×8=720
若是你的朋友接到的便簽中間，想當科長的是十一個或九個，那麽其排法就應當是：
11×10×9=990
或9×8×7=504
若是他的衙門裏還有一個額外科長，總共有四個位置，那麽他的安排應當是：
10×9×8×7=5040
11×10×9×8=7920
或 9×8×7×6=3024
我們仍然用n代表東西的數目（在數學上算數的時候，朋友，你不必生氣，人也隻是一種東西，倒無關於他有沒有當科長的福分），不過位置的數目既然和東西的不同，所以得另用一個字母來代表，譬如用m，我們的題目變成了這樣：“在n個東西裏麵取出m個來的排法。”
照前麵的推論法，m個位置，n個東西，第一位的排法是n；第二個位置的排法，東西已少了一個，所以隻有n-1；第三個位置，東西又少了一個，所以隻有n-2個排法……照推下去，直到第m個位置，它的前麵有m-1個位置，而每一個位置都拉了一個人去，所以被拉去的共有m-1個人，就總人數說，這時已少了m-1個，隻剩n-（m-1）個了，所以這個位置的排法是n-（m-1）。
這樣一來，總共的排法便是：
比如n是11，m是4，代進去就得：
在實際上隻要從n寫起，往下總共連著寫m個就行了。
這種排法也有一個符號，就是nPm。P左邊的n表示總共的個數，P右邊的m表示取出來排的個數，所以如在26個字母當中取出5個來排，它的方法總共就是26P5。
將上麵的計算用這符號連起來，就得出下麵的關係：
這裏有一件很有趣味的事，譬如我們將前麵說過的第一種排法也用這裏的符號來表示，那就成為nPn，所以：
在n個東西當中去了m個，剩的還有n-m個，這n-m個若自己掉來掉去地排，它的數目就應當是：
朋友，我問你，用（n-m）！去除n！得什麽？
如果你們想不出，我就將它們寫出來：
從這個式子一看分子和分母將公因數消去後，恰好得：
這式子的右邊和（1）式的完全一樣，所以：
這個式子很有意思，我們可以這樣想：從n個當中取出m個來排，和將n個全排好，從第m+1個起截斷一樣，因為nPn是n個的排列，n_mPn_m是m個以後所餘的東西的排列。
舉個例來說，5個字母取出3個來的排法是5P3，而5-3=2，
關於這兩種順列法的計算，基本原理就是這樣。但應用起來不容易，因為許多題目往往包含著一些特殊條件，它們所能排成功的數目就會減少。譬如八個人坐的是圓桌，大家預先又沒有說明什麽叫首座，這比他們坐八仙桌的變化就少得多。又譬如在八個人當中有兩個是夫妻，非挨著坐不可，或是有兩個是生冤家死對頭，不能坐在一起，或是有一個人是左手拿筷子的，若坐在別人的右邊不免要和別人的筷子衝突起來。這些條件是數不盡的，隻要有一個存在，排列的數目就得減少。朋友，你要想詳細知道，我隻好勸你去讀教科書或去請教你的教師，這裏卻不談了。
嗬！你也許不免要急得跳起來了吧？說了半天，和“八仙過海”有什麽關係呢？這是應當趕快解決的，不錯。但還得請你忍耐一下，單是這樣，這架子還不夠，不能好好地將“八仙過海”這一類的玩意兒往上擺。我們得另說一種別的排列法。
前麵的兩種都是不重複的，但“八仙過海”每一個錢的三次位置不是上就是下，所以總得重複，這種排列法究竟和前麵所說過的兩種有點兒大同小異，就算它是第一種吧。
第三種是n種東西m次數可重複的順列。就用“八仙過海”來作例，排來排去，不是上便是下，所以就算有兩種東西，我們無妨用a、b來代表它們。
首先說兩次的排法，就和第二十四圖一樣。第一個位置因為我們隻有a、b兩種不同的東西，所以隻好有2種排法。
第二十四圖
但是在這裏，因為a和b都可重用的緣故，就是第一個位置被a占了，它還是可以有2個排法；同樣地，它被b占了也仍然有2個排法。因此總共的排法應當是：
2×2=22=4
譬如像“八仙過海”一般，排的是3次呢，照這裏的話說，就是有三個位子可排，那麽就如第二十五圖的樣，全體的排法是：
第二十五圖
2×2×2=23=8
這不就說明了“八仙過海”，分上下兩排，總共排三次，位置不同的變化是8嗎？
我們前麵曾經說過分三排隻排三次的例子，用a、b、c代表上、中、下，說明是一樣的，暫且省略。就第二十六圖看，可以知道排列的總方法是：
3×3×3=33=27
這個數目和我們前麵所用的錢恰好一樣。
第二十六圖
照同樣的例子，分一、二、三、四，四排隻排三次的數目是：
4×4×4=43=64
前麵還說過排數不變、次數變的例子。兩排隻排三次，已說過了。兩排排四次呢，那就如第二十七圖，總共能排的數目應當是：
第二十七圖
2×2×2×2=24=16
若排的是三排，總共排四次，照同樣的道理，它的總數是：
3×3×3×3=34=81
以前所舉出的例子都可照樣推算出來。將這幾個式子在一起比較，乘數是跟著排數變的，乘的次數，就是指數，是跟著排的次數變的，所以若排數是a，排的次數是x，錢數是y，那麽，
y=ax
用一般的話來說，就是這樣：“n種東西，m次數可重複的順列，便是n的m次乘方，nm。”
所謂“八仙過海”，現在可算明白了，不過是順列法中的一種遊戲，有什麽奇妙呢？你隻要記好y等於a的x乘方這個式子，你想分幾排，排幾次，心裏一算就可知道，應當請幾位神仙下凡。你再照前麵所說過的（4）（5）兩個步驟去做，神仙的道法雖高，如來佛的手心卻可伸縮，豈知孫悟空的筋鬥雲無用呢？