一、案例來源
【教材】 人教版數學選修2-1 2.2.1橢圓及其標準方程
【課時安排】 第1課時
【教學對象】 玉岩中學高二（9）班理科學生
【授課教師】 廣州市蘿崗區教育科研與發展中心 管國文
【上課時間】 2013-11-01-11：20～12：05
二、教學設計簡介
（一）教學思維方式設計
1.知識目標
（1）橢圓的定義、焦點、焦距，橢圓的標準方程；
（2）理解並掌握橢圓的定義。
2.能力目標
（1）會選擇適當的直角坐標係，並能根據橢圓的定義推導橢圓的標準方程；
（2）能根據已知條件求橢圓的標準方程，提高運用坐標法解決幾何問題的能力及運算能力。
（3）通過課前學生在圖板上親自動手嚐試畫圖與課堂上教師引導學生觀察幾何畫板課件進而歸納出橢圓定義的過程，培養學生觀察、辨析、歸納問題的能力。
3.情意目標
（1）通過自主探究、觀察、辨析、歸納橢圓定義的過程，體驗探究數學問題的樂趣。
（2）經曆橢圓標準方程的推導、化簡過程，感受數學的簡潔美、對稱美。
（3）通過橢圓標準方程的推導、化簡過程，進一步體驗坐標法的應用、感受數形結合的思想方法。
（二）教學行為方式設計
1.主動
（1）通過精心設計的11個問題，激活學生的探究興趣，引導學生主動探究；
（2）通過問題1的猜想及其證明，讓學生回顧圓上的點所滿足的幾何條件，為學生類比探究橢圓上的點所滿足的幾何條件作鋪墊；
（3）通過問題2為遷移坐標係的選擇方法及類比圓的標準方程求解步驟推導橢圓的標準方程奠定基礎。
2.互動
通過問題3至問題8的師生互動過程，引導學生在辨析、歸納橢圓上的點所滿足的幾何條件基礎上，類比圓的定義並給出橢圓的定義，充分展示橢圓概念的產生過程，達成本節課的知識目標，滲透情意目標。
3.能動
學生通過問題9至問題11類比圓的標準方程的推導方法推導橢圓標準方程的能動過程，達成本節課的能力目標，滲透情意目標。
三、教學實施簡介
（一）創設問題情境，激活已有認知結構
探究活動 如圖4.2.1，點F1是平麵內的定點，圓F1的半徑為定長2a，F2是圓F1內一個定點，|F1F2|=2c（c＞0），c為常數，P是圓上任意一點.過線段F2P的中點H作線段F2P的垂直平分線l交直線F1P於點M，當點P在圓F1上運動時，請思考、探究下列問題。
問題1 猜想點H的軌跡是什麽？證明你的猜想。
問題2 如何求點H軌跡的標準方程？
圖4.2.1
圖4.2.2
圖4.2.3
圖4.2.4
學生1 當點P在圓F1上運動時，點H的軌跡是圓。
教師追問 你能確定圓心的位置嗎？
學生1 如圖4.2.2，因為F1，F2是定點，所以線段F1F2是定線段，線段F1F2的中點O也是定點。
學生1給出問題1證明1 如圖4.2.3，連接F1F2，取F1F2的中點O，連接OH，
所以平麵內動點H到定點O的距離等於定長a.（圓上的點所滿足的幾何條件）
所以點H的軌跡是圓。
教師追問 還有其他解法嗎？
學生2給出問題1證明2 以經過兩定點F1，F2的直線為x軸，以定點F1為原點，建立平麵直角坐標係xOy，則F1（0，0），F2（2c，0），圓F1的方程為x2+y2=4a2，設P（x1，y1），H（x，y），
所以，點H的軌跡是以（c，0）為圓心，以a為半徑的圓。
教師 如圖4.2.4，
（1）以經過兩定點F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標係xOy. 設H（x，y）是圓上的任意一點。
（2）由圓的定義，圓就是集合P={H||HO|=a。
（4）將上式兩邊平方，得x2+y2=a2。
①
（5）從上述過程可以看到，圓上任意一點的坐標都滿足方程①，以方程①的解（x，y）為坐標的點到圓心O的距離為a，即以方程①的解為坐標的點都是在圓上，由曲線與方程的關係可知，方程①是圓的方程。
小結 求曲線方程的一般步驟詳見教材第36頁。
（1）建係、設點；
（2）寫點集；
（3）列方程；
（4）化簡方程；
（5）說明.
簡稱：“建設（寫）列化（說）”。
教師活動
1.教師出示問題1 後，先讓學生獨立思考、猜想點H的軌跡是什麽？
2.教師演示幾何畫板課件，啟發、引導學生觀察、猜想、證明。讓學生給出猜想結論的口述證明，教師板書學生的證明。
3.教師提示學生先閱讀教材第36頁求曲線方程的一般步驟後再讓一個學生回答問題2，在學生回答的基礎上，教師補充、小結。
學生活動
1.學生獨立思考、猜想並給出猜想（1）的證明。
2.學生在閱讀教材第36頁求曲線方程的一般步驟後，獨立思考並回答問題2。
設計意圖
1.通過探究活動，激活學生已有認知結構，為本節課提供學習策略與方法。
2.通過問題1的猜想及其證明，讓學生回顧圓上的點所滿足的幾何條件，為學生類比探究橢圓上的點所滿足的幾何條件作鋪墊。
3.通過問題2為遷移坐標係的選擇方法及類比圓的標準方程求解步驟推導橢圓的標準方程奠定基礎。
（二）辨析、歸納，建構橢圓概念
問題3 點M運動時，|MF1|，|MF2|，|MF1|+|MF2|，哪個是變化的？哪個是不變的？為什麽？
圖4.2.5
學生3 觀察圖4.2.5可知，|MF1|，|MF2|是變化的，由圖1，
因為|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|F1P|=2a=常數。
所以|MF1|+|MF2|不變。
問題4 點M運動時，比較|MF1|+|MF2|與|F1F2|的大小。
學生4 |MF1|+|MF2|＞|F1F2|，即2a＞2c。
問題5 滿足條件|MF1|+|MF2|=|F1F2|的點M存在嗎？
學生5 點M在線段F1F2上。
問題6 滿足條件|MF1|+|MF2|＜|F1F2|的點M存在嗎？
學生6 點M不存在。
問題7 在對問題3至問題6思考的基礎上，歸納點M運動軌跡所滿足的幾何條件。
學生7 |MF1|+|MF2|=|F1P|=2a=常數，且|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，即2a＞2c。
問題8 類比圓的定義，請給點M的運動軌跡下定義。
學生8 橢圓定義：平麵內與兩個定點F1，F2的距離的和等於常數（大於|F1F2|）的點的軌跡叫作橢圓。
鞏固概念 用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓。
（1）平麵內，到F1（－2，0），F2（2，0）的距離之和為6的點的軌跡。（是）
（2）平麵內，到F1（0，－2），F2（0，2）的距離之和為4的點的軌跡。（否）
（3）平麵內，到F1（－2，0），F2（2，0）的距離之和為3的點的軌跡。（否）
深化概念 1.平麵內.2.若|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，則點M的軌跡為橢圓；若|MF1|+|MF2|=|F1F2|，則點M的軌跡為線段；若|MF1|+|MF2|＜|F1F2|，則點M的軌跡不存在。
設計意圖 通過問題3至問題8引導學生在辨析、歸納橢圓上的點所滿足的幾何條件基礎上，類比圓的定義給出橢圓的定義，充分展示橢圓概念的產生過程。
（三）類比推導橢圓的標準方程
問題9 如圖4.2.5，已知橢圓的焦距|F1F2|=2c，（c＞0），橢圓上的動點M到兩焦點F1，F2的距離之和為2a，求橢圓的方程。
圖4.2.6
圖4.2.7
教師 ①建係、設點：如圖4.2.6，以經過橢圓兩個焦點F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標係xOy.設M（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c＞0），那麽焦點F1，F2的坐標分別為F1（－c，0），F2（c，0）。
②寫點集：由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}。
兩邊平方，得a4－2a2cx+c2x2=a2（x－c）2+a2y2。
整理，得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），
由橢圓的定義可知，2a＞2c，即a＞c，所以a2－c2＞0。
⑤說明：從上述過程可以看到，橢圓上任意一點的坐標都滿足方程②，以方程②的解（x，y）為坐標的點到橢圓的兩個焦點F1（－c，0），F2（c，0）的距離之和為2a，即以方程②的解為坐標的點都在橢圓上，由曲線與方程的關係可知，方程②是橢圓的方程，我們把它叫作橢圓的標準方程.它的焦點在x軸上，兩個焦點分別是F1（－c，0），F2（c，0），c2=a2－b2。
問題11 如圖4.2.8，已知橢圓的焦距|F1F2|=2c，（c＞0），橢圓上的動點M到兩焦點F1，F2的距離之和為2a，求橢圓的方程。
圖4.2.8
圖4.2.9
（四）例題研討，變式訓練
例題 已知橢圓焦點的坐標分別是（-4，0），（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離的和等於10，求橢圓的標準方程。
（五）達標檢測題
1.寫出適合下列條件的橢圓標準方程。
①a=3，b=1，焦點在x軸上。
④a+c=10，a－c=4。
（六）歸納小結，形成知識結構
在小結回顧本節課所學內容的基礎上填寫表4.2.1
表4.2.1
續表
四、評析
本節課按照蘿崗區倡導的“六要素”教學方式，設計了比較恰當的符合玉岩中學學生實際的知識、能力、情意目標。學生在教師組織、引導下的主動、能動、互動過程，向聽課者詮釋了新課程的教學理念與教學要求，有效地達成了本節課的教學目標。
本節課的第一個亮點是通過精心設計的11個問題，引導學生在獨立思考、探究的前提下自主建構橢圓概念，通過類比圓的標準方程推導過程引導學生自主推導橢圓的標準方程；
本節課的第二個亮點是《幾何畫板》課件很直觀地演示了橢圓的生成過程，有效地促進了學生對橢圓概念的自主構建，教師通過演示課件啟發、引導學生在課堂上自主探究、合作學習，有效地突破了教學難點；
本節課的第三個亮點是全體學生都能在11個問題驅動下積極主動地參與教學過程，思維參與度高，不僅積極主動、互動過程中還有能動的可喜表現，例如：學生1給出了問題1證明一，學生2給出了問題1證明二，二人的準確回答贏得了全班學生自發而熱烈的掌聲。
“沒有最好的課，隻有更好的課”。管老師本節課的遺憾之處是：“創設問題情境，激活已有認知結構”環節占用的教學時間較多，主要原因是玉岩中學的教學平台不方便教學。