我妻子的和平叫聲一消失，我就向那位陌生人走去。一來，我想湊近一些把他看個仔細；二來，我也想請他坐下來。可他的樣子實在是把我驚呆了，結果我完全忘了說話，隻是一動不動地看著他。他的形狀完全光滑，一點也看不到角的痕跡，但他的大小和亮度每一秒鍾都在逐漸發生變化。

就我個人的經驗而言，平麵國裏沒有哪個形狀能做到這一點。我的腦海中閃過一個念頭：莫非站在麵前的是一位強盜或者殺人凶手，一位形狀不規則的等腰三角形怪物？也許此人模仿圓形的聲音，設法混進了我的家裏，現在他正準備用尖銳的角來攻擊我呢。

我家的客廳裏沒有霧（當時的天氣恰好十分幹燥），加上我又與這位訪客靠得太近，因此我很難通過視覺準確判斷他的形狀。恐懼攫住了我的心靈，我不顧禮節地衝了上去：“先生，您必須允許我——”我一邊這麽說著，一邊開始觸摸這位陌生人。我的妻子說得沒錯。這位訪客身上完全沒有角的痕跡。他周身絕對光滑，絲毫沒有凹凸不平的地方。我活到這把年紀，還從來沒有見過如此完美的圓形。這位陌生人一動不動地站在那裏任我觸摸。我繞著他走了一周，從他的眼睛開始，直到我再次觸到他的眼睛為止。他自始至終都是一個圓，一個完美無缺的圓，這一點絕對不容置疑。接下來，我與這位訪客進行了一番對話。作為一個正方形紳士，通常我絕對不會粗魯地觸摸一個圓形。因此摸完這位訪客以後，我不禁又羞又愧，一個勁地向他道歉。我會省去那些過度重複的道歉之語，其他對話我則根據記憶盡量按原貌向讀者們複述。

先開口說話的是那位陌生人。因為我觸摸了他好長時間，他實在是被我弄得不耐煩了。

陌生人：“你摸了我這麽久，也差不多該夠了吧？你是不是還沒有向我介紹自己？”

我：“最尊敬的先生，請原諒我的無禮。我這樣冒犯您不是因為我不懂禮節，而是因為您的來訪有些突然，使我略微有些驚訝和緊張。我懇請您別把我的無禮之舉告訴其他人，尤其是不要告訴我的妻子。但在與您對話之前，我想鬥膽提出一個小小的問題，不知您能不能屈尊滿足一下我的好奇心？請問，閣下是從哪裏來的呢？”

陌生人：“從空間來的，從空間來的，先生，我還能是從哪兒來的呢？”

我：“閣下，請您原諒我的無知。但您不是已經在空間中了嗎？此刻，您和在下不就在空間中嗎？”

陌生人：“呸！你對空間知道些什麽？你能定義空間嗎？”

我：“空間，我的閣下，就是高度和寬度的無限延長。”

陌生人：“果然！你瞧，你連什麽是空間都不知道。你認為空間隻是二維的，而我來這裏，就是為了向你宣布空間的第三個維度——除了高度和寬度以外，空間還有第三個維度，那就是長度。”

我：“閣下可真愛說笑。其實我們也說‘長度’和‘高度’，或者‘寬度’和‘厚度’，就是說我們可以用四個名詞來描述兩個維度。”

陌生人：“我指的不是三個名詞，而是真的有三個維度。”

我：“閣下能不能向我解釋或展示一下第三個維度在哪個方向上呢，因為我並不知道有這麽一個方向？”

陌生人：“我就是從第三個方向上來的。第三個方向就是朝上和朝下的那個方向。”

我：“閣下指的似乎是朝南和朝北的方向吧。”

陌生人：“我不是說朝南和朝北的方向。我說的是一個你看不見的方向，因為你身體的側麵沒有眼睛。”

我：“抱歉，閣下，您搞錯了。在我的正麵和背麵的交界處有一個完美的發光體，那就是我的眼睛，閣下隻要過來檢查一下就知道了。”

陌生人：“是的，我知道你的邊上有一個眼睛。但是，要想看到空間，邊上的眼睛是不管用的，你得有一個長在側麵的眼睛——我們空間國把那叫作你的側麵，我估計你會把那叫作自己的內部吧。”

我：“一個長在我內部的眼睛！一個長在我肚子裏的眼睛！閣下，您可真幽默。”

陌生人：“我可不是與你開玩笑。我對你說過，我來自空間。既然你不懂什麽叫空間，那就這麽說吧，我來自三維世界。我最近才從三維世界中注意到你們的這個平麵，當然囉，你們把這個平麵叫作空間。從我的角度來看，所有你們稱之為實心物體的東西（我知道你們說的實心物體是指“四麵閉合的物體”）其實都是敞開的。你們的房屋、你們的教堂、你們的櫥櫃和保險箱，甚至你們的身體內部和你們的腸胃，對我而言都是一覽無餘的。”

我：“閣下，這種驚人之語說起來倒也不難。”

陌生人：“你的意思是，說起來不難，但證明起來就不容易了？但是，我正打算向你證明呢。

“我來訪時看到了你的四個兒子分別在自己的房間中，他們都是五邊形；還有你的兩個孫子，他們是六邊形；我看見最小的那個六邊形和你在這兒待了一會兒，然後才回自己的房間裏去。然後你和你的妻子就單獨留在這裏。我還看到你家的仆人們在廚房裏吃晚餐，他們共有三人，都是等腰三角形；還有一個小聽差在洗碗間裏。然後我就走進這個房間了，你覺得我是怎麽進來的呢？”

我：“我估計，您是從屋頂進來的吧。”

陌生人：“不是的。你自己也清楚，你家的屋頂最近剛修得嚴絲合縫，連一個女人也進不來。我對你說過，我是從空間裏來的。我已經向你描述過你的孩子和家庭成員了，難道你還不相信我的說法嗎？”

我：“閣下想必明白，任何一個像您這麽消息靈通的人隻要走到我家附近，都很容易收集到關於在下的這些信息啊。”

陌生人（自言自語地說）：“我該怎麽辦呀？等等，我又想到了一個法子。讓我來問你，當你看到一條線段——比如說，你的妻子——時，你覺得她有幾個維度呢？”

我：“閣下是把我當成粗人了吧。隻有不懂數學的粗人才會真的以為女人是一條隻有一個維度的線段。不，不，閣下，我們正方形是有些見識的。和您一樣，我們知道女人雖然通常被稱作線段，但從科學的角度來說其實是非常窄的平行四邊形。女人跟其他人一樣有兩個維度，也就是長度和寬度（或者說厚度）。”

陌生人：“但是，既然一條線段能被看見，就說明她還有另外一個維度。”

我：“閣下，剛才我已經承認了，女人確實既有長度也有寬度。長度我們能看得見；寬度我們雖然看不見，但能推測出來。女人的寬度雖然很小，卻也是可以被測量到的。”

陌生人：“你沒明白我的意思。我的意思是說，當你看到一個女人時，你不僅應該看到她的長度，推測到她的寬度，還應該看到另一個維度——也就是我們說的‘高度’。雖然在你們國家中，所有東西的高度都是無限小的，但假如一條線段隻有長度而沒有‘高度’，她就不能在空間中存在，也不可能被看見了。我想你一定明白這個道理吧？”

我：“閣下，我必須承認，我一點兒也不知道您在說什麽。在我們平麵國中，當我們看見一條線段，我們隻能看見她的長度和亮度。如果她的亮度消失，我們就看不見這條線段了，就像您說的那樣，她就無法在空間中存在了。我是不是應該這樣理解閣下的意思呢：您把我們說的亮度定義為一種維度，您把我們稱作‘亮度’的東西稱作‘高度’？”

陌生人：“不是的，我不是那個意思。我說的‘高度’是一個真實的維度，就像你們說的‘長度’一樣。隻是對你們來說，因為所有東西的高度都非常小，你們不容易看到這個維度罷了。”

我：“閣下，您說的內容很容易驗證。您說我有第三個維度，您把這個維度叫作‘高度’。維度意味著方向，並且應該是可以測量的。隻要您能量出我的‘高度’，或者展示給我看我的‘高度’究竟在哪個方向上延展，我就立即相信您說的話。否則，請原諒我無法相信閣下的說辭。”

陌生人（自言自語地說）：“這兩件事我都做不到啊。我怎麽才能說服他呢？對了，我先把事實說清楚，再做一些直觀的演示，那樣應該就行了。——先生，現在請聽我說。

“你生活在一個平麵上。我把這個巨大的平麵叫作一個液麵，而你們把它叫作平麵國。你和你的同胞們生活在這個平麵表麵，或者說生活在這個平麵中，你們既不能浮到這個液麵以上，也不能沉到這個液麵以下。

“我不是一個平麵圖形，而是一個立體圖形。你把我叫作一個圓，但事實上我不是一個圓，我是無數個大小不同的圓組成的圖形。最小的圓隻是一個點，最大的圓直徑有13英寸，這些圓全部疊加在一起，就成了我。你所在的平麵會在我的身體上切出一個截麵，就像現在這樣，這個截麵是一個圓。在我自己的國家中，我真正的名字是球。但你把我叫作圓是完全正確的，因為一個球要想出現在平麵國居民的眼前，他的形象就隻能是一個圓。

“你不記得了嗎——昨天晚上，我看見你頭腦中關於直線國的幻象了，因為平麵國的一切我都能看得清清楚楚——我說，你不記得了嗎？當你走進直線國時，雖然你是個方形，你卻隻能在國王麵前呈現出一條線段的樣子。因為直線國的維度太少，無法將你的形狀完整地呈現出來。國王隻能看到你的一部分，或者說隻能看到你的截線。現在的情況和你夢裏的情況完全一樣，你們平麵國隻有兩個維度，而我是一個三維物體，所以我無法在平麵國中展現我的全貌。你隻能看到我的一部分，或者說隻能看到我的截麵，這個截麵就是你所說的圓。

“我看到你的目光變暗了，你一定是還不相信我說的話吧。你可看好了，我現在就向你證明我所言非虛。確實，你每次隻能看到一個圓，也就是我的一個截麵，因為你沒法把目光移到平麵國的平麵以外。但是，當我在空間中逐漸升高時，你至少能看出我的截麵在越變越小吧。現在，你看，我要升高了；你的眼睛應該能看到我所呈現的圓形越變越小，直到收縮為一個點，然後完全消失。”

我沒法看到他的“上升”過程，但他確實越變越小，最終消失在我的視野裏。我眨了一兩次眼睛，以確保自己不是在做夢。但是，這真的不是夢。從虛空的深處傳來一個空洞的聲音，那聲音仿佛是從我的心髒附近發出的：“我有沒有完全消失？現在你相信了嗎？好吧，現在我要逐漸回到平麵國中來了，你將看到我的截麵變得越來越大。”

任何一位空間國的讀者都能輕鬆地理解，這位神秘的訪客不僅沒有說謊，而且說的都是淺顯易懂的事實。但是，對我來說，盡管精通平麵國的數學，我還是很難理解他的話。就連空間國的小孩也能看懂下麵的這幾幅粗糙的示意圖吧。這三幅圖描述了球在上升過程中所處的三個位置。在我看來，或者說在任何一個平麵國居民看來，這個球的樣子始終是一個圓：一開始圓的麵積最大，然後逐漸變小，最後變得非常小，幾乎成了一個點。但是，當時的我隻能看到眼前的事實，卻根本搞不清現象背後的原理。我隻能理解到，這個圓將自己越變越小，直至完全消失，然後他又再次出現在我麵前，並且快速地越變越大。

變回原始大小以後，這個圓深深地歎了一口氣，因為他從我的沉默中猜到，我根本沒有理解他的意思。事實上，當時我已經開始相信，此人根本不是一個圓——他一定是一個特別機靈、會變戲法的騙徒，否則那些古老的迷信傳說豈不就是真的了？畢竟，世界上確實有魔術師和巫師之類的人。

陌生人良久不語，然後他喃喃地對自己說：“現在隻剩最後一個法子了，如果這個法子再不奏效，我就隻能采取行動了。我必須試試類比的辦法。”接著又是一陣更久的沉默，然後陌生人再次開口說起話來。

球：“告訴我，數學家先生。如果一個點向北麵移動，並留下一條發光的軌跡，你管這條軌跡叫作什麽呢？”

我：“一條線段。”

球：“那麽一條線段有幾個端點呢？”

我：“兩個。”

球：“現在，假設這條南北向的線段沿東西方向平行移動，於是線段上的每個點都會在東西方向上留下一條直線形的軌跡。你怎麽稱呼由此形成的圖形呢？我們假設線段移動的距離與線段的原始長度相等——你把這個圖形叫作什麽？”

我：“一個正方形。”

球：“那麽一個正方形有幾條邊？有幾個角？”

我：“四條邊和四個角。”

球：“現在，發揮一下你的想象力，想象平麵國中的一個正方形平行向上移動。”

我：“什麽？您是說向北移動嗎？”

球：“不，不是向北移動。向上移動，移到平麵國以外去。

“如果這個正方形向北移動，那麽正方形中靠南邊的點就會經過靠北邊的點原來占據的地方。我不是這個意思。

“既然你就是一個正方形，我們就以你為例來說明吧。我的意思是說，你身體上的每一個點——按照你的說法，就是你身體內部的每一個點——都會在空間中向上移動，但是任何一個點都不會經過其他點曾經占據過的地方。每一個點留下的軌跡都是一條僅屬於它自己的線段。我這是在用類比的方式向你說明，你一定能聽明白吧。”

此時，我已經產生了一種強烈的衝動。我隻想沒頭沒腦地衝向這位訪客，把他扔回空間裏去，或者說扔到平麵國以外的隨便什麽地方去，反正隻要能讓他從我眼前消失就行。但我強忍住不耐煩的心情，回答道：

“既然您說‘向上’移動正方形能產生一個新的圖形，那麽請問，這個圖形究竟是什麽性質的圖形呢？我假定您總可以用平麵國的語言來描述這個圖形吧。”

球：“哦，當然可以。這個形狀非常簡單，隻需通過嚴格的類比就能推出——隻是，順便說一聲，你不能把這個新的形狀叫作‘圖形’，因為他是一個立體形。但是我可以向你描述這個新的形狀。準確地說，我描述不了，但類比的方法可以讓你明白這個新的形狀是什麽樣的。

“首先，假設我們有一個點。既然是一個點，那麽他當然隻有1個頂點。

“通過移動一個點，可以得到一條線段。一條線段有2個頂點。

“通過移動一條線段，可以得到一個正方形。一個正方形有4個頂點。

“下麵的問題，你自己就可以回答了：1，2，4，這顯然是一個幾何級數。那麽這個級數中的下一個數字是什麽呢？”

我：“8。”

球：“完全正確。所以說，通過移動一個正方形，能夠產生一個新的形狀。現在你還不知道這個形狀的名字，但我們空間國的人把他叫作‘立方體’。一個立方體有8個頂點。現在你相信我所說的了嗎？”

我：“既然您說這個新的形狀有‘頂點’，那想必就是我們說的‘角’了。那麽這個新玩意兒也有側邊嗎？”

球：“當然有側邊，這一點通過類比就可以推演出來呀。但是，這個新形狀的側邊其實不是你們所說的‘側邊’，而是我們所說的‘側麵’。一個‘側麵’就相當於平麵國中的一個實心圖形。”

我：“按照您的說法，將我的內部平行向上移動，就能得到一個新的形狀，你們把這個形狀叫作立方體。那麽，這個新的形狀究竟有多少個實心圖形，或者說有多少個側麵呢？”

球：“你怎麽還問我？你不是數學家嗎！恕我冒犯，我這麽說吧：任何一個形狀都可看作是由一些‘側元素’圍成的，每個‘側元素’的維度總是比這個形狀的維度小1。因為一個點是零維的，所以點沒有‘側元素’；以此類推，線段有2個‘側點’（我們可以把線段的兩個端點稱作是他的‘側點’）；正方形有4條側邊；0，2，4，你把這個級數叫作什麽？

我：“算術級數。”

球：“那麽這個級數裏的下一個數字是多少？”

我：“6。”

球：“完全正確。你瞧，你自己就能回答這個問題吧。通過移動正方形產生的這個立方體是由6個‘側麵’圍成的，也就是說由6個你的內部圍成的。現在你都明白了吧，對不對？”

“怪物，”我尖叫道，“不管你是騙子、巫師、噩夢，還是魔鬼，我都不能再忍受你的惡作劇了。現在讓我跟你拚個你死我活吧。”我一邊這麽說，一邊衝向眼前的這個怪人。