這裏所要說明的“數學”這一個詞，包含著算術、代數、幾何、三角等。用英文名詞來說，那就是Mathematics。它的定義，照平常的想法，非常簡單、明了，幾乎用不到再說明。若真要說明，問題卻有很多。且先舉羅素（Russell），他在所著的《數理哲學》中提出的定義，真是叫人莫名其妙，好像在開玩笑一樣。他說：“Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true．”
將這句話粗疏地翻譯出來，就是： “數學是這樣一回事，研究它這種玩意兒的人也不知道自己究竟在幹些什麽。”
這樣的定義，它的惝恍迷離，它的神奇莫測，真是“不說還明白，一說反糊塗”。然而，要將已經發展到現在的數學的領域統括得完全，要將它繁複、燦爛的內容表示得活躍，好像除了這樣也沒有別的更好的話可說了。所以伯比裏慈（Papperitz）、伊特耳生（Itelson）和路易·古度拉特（Louis Couturat）幾位先生對於數學所下的定義也和這個氣味相同。
對於一般的數學讀者，這定義，恐怕反而使大家墜入五裏霧中，因此撥雲霧見青天的工作似乎少不了。羅素所下的定義，它的價值在什麽地方呢？它所指示的是什麽呢？要回答這些問題，還是用數學的其他定義來相比較更容易明白。
在希臘，亞裏士多德（Aristotle）那個時代，不用說，數學的發展還很幼稚，領域也極狹小，所以隻需說數學的定義是一種“計量的科學”，便可使人心滿意足了。可不是嗎？這個定義，初學數學的人是極容易明白、滿足的。他們解四則問題，學複名數的計算，再進到比例、利息，無一件不是在計算量。就是學到代數、幾何、三角，也還不容易發現這個定義的破綻。然而仔細一想，它實在有些不妥帖。第一，什麽叫作量，雖然我們可以用一般的知識來解釋，但真要將它的內涵弄明白，也不容易。因此用它來解釋別的名詞，依然不能將那名詞的概念明了地表示出來。第二，就是用一般的知識來解釋量，所謂計量的科學這個謂語也不能夠明確地劃定數學的領域。像測量、統計這些學科，雖然它們各有特殊的目的，但也隻是一種計量。由此可知，僅僅用“計量的科學”這一個謂語聯係到數學而成一個數學的定義，未免廣泛了一點兒。
若進一步去探究，這個定義的欠缺還不止這兩點，所以孔德（Comte）就加以修改而說：“數學是間接測量的科學。”照前麵的定義，數學是計量的科學，那麽必定要有量才有可計算的，但它所計的量是用什麽手段得來的呢？用一把尺子就可以量一塊布有幾尺幾寸寬、幾丈幾尺長，用一杆秤就可以量一袋米有幾斤幾兩重，這自然是可以直接辦到的。但若是測量行星軌道的廣狹、行星的體積，或是很小的分子的體積，這些就不是人力所能直接測定的，然而由數學的方法可以間接將它們計算出來。因此，孔德所下的這個定義，雖然不能將前一個定義的缺點完全補正，但總是較進一步了。
孔德究竟是十九世紀前半期的人物，雖然他是一個不可多得的哲學家和數學家，但在他的時代，數學的領域遠不及現在廣闊，如群論、位置解析、投影幾何、數論以及邏輯的代數等，這些數學的支流的發展，都是他以後的事。而這些支流和量或測量實在沒什麽關係。即如笛沙格（Desargues）所證明的一個極有興味的定理：“兩三角形的頂點若在集交於一點的三直線上，則它們的相應邊的交點就在一條直線上。”
這個定理的證明，就隻用到位置的關係，和量毫不相幹。數學的這種進展，自然是輕巧地將孔德所給的定義攻破了。
到了1970年，皮爾士（Peirce）就另外給數學下了一個這樣的定義：“數學是產生‘必要的’結論的科學。”
不用說，這個定義比以前的都廣泛得多，它已離開了數、量、測量等這些名詞。我們知道，數學的基礎是建築在幾個所謂公理上麵的。從方法上說，不過由這幾個公理出發，逐漸演繹出去而組成一個秩序井然的係統。所謂公式、定理，隻是這演繹所得的結論。
照這般說法，皮爾士的定義可以說是完整無缺嗎？
不！依了幾個基本的公理，照邏輯的法則演繹出的結論，隻是“必然的”。若說是“必要”，那就很可懷疑。我們若要問怎樣的結論才是必要的，這豈不是很難回答嗎？
更進一步說，現在的數學領域裏麵，固然大部分還是采用著老方法，但像皮亞諾（Peano）、布爾（Boole）和羅素這些先生們，卻又走著一條相反的途徑，對於數學的基礎的研究他們要掉一個方向去下尋根問底的功夫。
於是，這個新鮮的定義又免不了搖動。
關於這定義的改正，我們可以舉出康伯（Kempe）的來看，他說：“數學是一種這樣的科學，我們用它來研究思想的題材的性質。而這裏所說的思想，是歸依到含著相異和相同，個別和複合的一個數的概念上麵。”
這個定義，實在太嚴肅、太文氣了，而且意味也有點兒含混。在康伯以後，布契（B?cher）把它改變了一下，便這樣說：“倘若有某一群的事件與某一群的關係，而我們所要研究的問題，又單隻是這些事件是否適合於這些關係，這種研究便稱為數學。”
在這個定義中，有一點最值得注意，布契提出了“關係”這一個詞來解釋數學，它並不用數咧、量咧這些家夥，因此很巧妙地將數學的範圍擴張到“計算”以外。
假如我們隻照慣用的意義來解釋“計算”，那麽，到了現在，數學中有些部分確實和計算沒有什麽因緣。
也就因為這個緣故，我喜歡用“數學”這個詞來譯Mathematics，而不喜歡用“算學”。雖然“數”字也還不免有些語病，但似乎比“算”字來得輕些。
倘使我們再追尋一番，我們還可以發現布契的定義也並不是“懸諸國門不能增損一字”的。不過這種功夫越來越細微，也不容易理解。而我這篇東西不過想給一般的數學讀者一點兒數學的概念，所以不再往裏麵窮追了。
將這個定義來和羅素所下的比較，雖然距離較近，但總還是旨趣懸殊。那麽，羅素的定義果真是開玩笑嗎？
我是很願意接受羅素的定義的，為了要將它說得明白些，也就是要將數學的定義——性質——說得明白些，我想這樣說：“數學隻是一種符號的遊戲。”
假如，有人覺得這樣太輕佻了一點兒，嚴嚴正正的科學怎麽能說它是“遊戲”呢？那麽，這般說也可以：“數學是使用符號來研究‘關係’的科學。”
對於數學這種東西，讀者大都有過這樣的疑問：這有什麽意思呢？這有什麽用呢？本來它不過讓你知道一些關係，以及從某種關係中推演出別的關係來，而關係的表出大部分又隻靠著符號，這自然不能具體地給出什麽用場和意義了。
為了解釋明白上麵提出的定義，我想從數學中舉些例子來講，更方便些。
一開頭我們就看“一加二等於三”。
在這一個短短的句子裏，照句子法上的說法，總共是五個詞：“一”“二”“三”“加”“等於”。這五個詞，前三個是一類，後兩個又是一類。什麽叫“一”？什麽叫“二”？什麽叫“三”？這實在不容易解答。它們都是數，數是抽象的，不是嗎？我們能夠拿一個銅板、一支鉛筆、一個墨水瓶給人家看，但我們拿不出“一”來，“一”是一個銅板、一支鉛筆、一個墨水瓶。一個這樣，一個那樣，這些的共相。從這些東西我們認識出這共相，要自己保存，又要傳給別人，不得不給它起一個稱呼，於是就叫它是“一”。我為什麽叫“薰宇”，倘若你要問我，我也回答不上來，我隻能說，這隻是一個符號，有了它方便你們稱呼我，讓你們在茶餘酒後要和朋友們批評我、罵我時，說起來方便些，所以“薰宇”兩個字是我的符號。同樣地，“一”就是一個銅板、一支鉛筆、一個墨水瓶……這些東西的共相的符號。這麽一說，自然“二”和“三”也一樣隻是符號。
至於“加”和“等於”在根源上要說它們隻是符號，一樣也可以，不過從表麵上說，它們表示一種關係。所謂“一加二”是表示“一”和“二”這兩個符號在這裏的關係是相合；所謂“等於”是表示在它前後的兩件東西在量上相同。所以歸根到底“一加二等於三”隻是三個符號和兩個關係的聯綴。
單隻這麽一個例子，似乎還不能夠說明白。再舉別的例子吧，假定你是將代數學完了的，我們就可以從數的範圍的逐漸擴大來說明。
在算術裏我們用的隻是1、2、3、4……這些數，最初跨進代數的門檻，遇到a、b、c、x、y、z，總有些不習慣。你對於二加三等於五，並不驚奇，並不懷疑；對於二個加三個等於五個，也不驚奇，也不懷疑；但對於2a+3a=5a你卻怔住了，常常覺得不安心，不知道你在幹什麽。其實呢，2a+3a=5a和2+3=5對於你的習慣來說，後者不過更像符號而已。有了這一個使用符號的進步，許多關係來得更簡單、更普遍，不是嗎？若是將2a+3a=5a具體化，認為a是一隻狗的符號，那麽這關係所表示的便是兩隻狗碰到了三隻狗成為五隻狗；若a是一個鼻頭的符號，那麽，這關係所表示的便是兩個鼻頭添上三個鼻頭總共就成了五個鼻頭。
再掉轉一個方向來看，在算術中除法常有除不盡的時候，比如2÷3。遇見這樣的場合，我們便有幾種方法表示：
第一種隻是一個近似的表示法；第二種表示得雖正確，但用起來不方便；第三種是循環小數，關於循環小數的計算，那種苦頭你總嚐到過；第四種是分數，2是什麽？你已知道就是3除2的意思。對了，隻是“意
3思”，畢竟沒有除。這和3除6得2的意味終是不同的。所謂“意思”便是“符號”。因為除法有除不盡的時候，所以我們使用“分數”這種符號。有了這種符號，於是我們就可以推究出分數中的各種關係。
在算術裏你知道5-3=2，但要碰到3-5你就沒辦法，隻好說一句“不能夠”。“不能夠”？這是什麽意思？我替你解釋便是沒有辦法表示這個關係。但是到了代數裏麵，為了探究一些更普遍的關係，不能不想一個方法來突破這個困難。於是有些人便這樣想：3-5為什麽不能夠呢？他們異口同聲地回答，因為還差2的緣故。這一回答，關係就成立了，“從3減去5差2”。在這個當兒又用一個符號“-2”來表示“差2”，於是這關係就成為3-5=-2。這一來，真是“功不在禹下”。有了負數，我們一則可探討它自身所包含的一些關係，二則可以將我們已得到的一些關係更普遍化。
又如在乘法中，有時隻是一些相同的數在相乘，便給它一種符號，譬如a×a×a×a×a寫成a5。這麽一來，關於這一類的東西又有許多關係可以發現了，例如：
……
不但這樣，這裏的n和m還隻是正整數，後來卻擴張到負數和分數去而得出下麵的符號：
這些符號的使用，是代數所給的便利，學過代數的人都已經知道了，我也不用再說了。
總結這些例子來看，除了使用符號和發現關係以外，數學實在沒有什麽別的花頭。倘若你已學過平麵三角，那麽，我相信你更容易承認這句話。所謂平麵三角，不就是隻靠著幾個什麽正弦、餘弦這類的符號來表示幾個比，然後去研究這些比的關係和三角形中的其他關係嗎？
我說“數學是使用符號來研究‘關係’的科學”，你應該不至於再懷疑了吧？
在數學中，你會碰到一些實際的問題要你計算，譬如三個十兩五錢總共是多少斤。但這隻是我們所得的關係的具體化，換句話說，不過是一種應用。
也許你還有一個疑問，數學中的公式和定理固然隻是一些“關係”的表現形式，但像定義那類的東西又是什麽呢？我的回答是這樣，那隻是符號的規定。“到一個定點距離相等的一個完全的曲線叫圓”。這是一個定義，但也隻是“圓”這個符號的規定。
正正經經地說，數學隻是這麽一回事，但我仍然高興地說它是符號的遊戲。所謂“遊戲”自然不是開玩笑的意思。兩個要好的朋友拿著球拍在球場上打網球，並沒有什麽爭勝的要求，然而興致淋漓，不忍釋手，在這時他們得到一種滿足，這就是使他們忘卻一切的原因，這叫遊戲。小孩子獨自拿著兩塊石子在地上造房子，盡管滿頭大汗，氣喘不止，但仍然拚盡全身力氣去做，這是遊戲。至於為銀盾而賽球，為錦標而練習賽跑，這便不是遊戲了。還有為了排遣寂寞，約幾個人打麻將、喝老酒，這也算不來遊戲。就在這意味上，我說“數學是符號的遊戲”。
自然，從這遊戲中可有些收獲——發現一些可以供人使用的關係。但符號使用得越多，所得的關係越不容易具體化。踏到數學的領域的後部，真的，你隻見到符號和關係，那些符號、那些關係要你說個明白，就是馬馬虎虎地說，你也無從下手。
到這一步，好了，羅素便說：“數學是這樣一回事，研究它這種玩意兒的人也不知道自己究竟在幹些什麽。”