我想在這篇短文中答複許多人對於我所提出的“數學有什麽用”的問題。我希望這一篇簡略的述說能引起人們對於數學的偉大功績的注意，不要低估了它的價值——雖然這對它來說沒有任何損傷。
隻要人的生活不是全然在懵懂混沌中，就沒有一個時候——無論多麽短——能夠脫離數學的關係。張三比李四高一點兒；同樣的樹，遠處的看上去低，近處的看上去高；今天的風比昨天大……這許多的比較都是人心在受到數學的鍛煉以後才能獲得的。從白馬湖要到上海去，就比到寧波去需多備路費，多帶零用物品，多留出幾天的空閑；準備一月的糧食比備一天的糧食要多儲幾鬥米；沒有事到山上去跑的時候，看見太陽已發了紅快掉下去，就得放快一點兒腳步才免了黑夜的奔走……這一類的事，也不是從有生以來就不曾受過數學的鍛煉的人所能及的。
一百頁的書打算五天念完，平均每天應當念多少？雇一個人做了三天的工，要給他多少工錢？想縫一件大布長衫要買多少布才不至於不足，也不至於多出剩餘？這些自然都是很淺、很明白的，沒有一個人能否認數學所給予人的“用”。但數學對於人的貢獻若隻有這一點，也就不值得去學，縱然不得不學，也是一件極輕而易舉的事。中國的舊式商人，通了“小九九”便可受用不盡，若還知道點兒“飛歸”的就要被人稱頌，實在是一個呱呱叫的人物了。對於這點，沒有人還懷疑數學的“用”，但因此來讚美數學，它雖未必叫屈，也絕不會安心。一般人對於數學，反而覺著越學越沒有用，這是它所引以為憾的，雖然它的目的不全在給人以“用”。
人們若不想返回到數千年以前的生活，不願穴居野處，鑽燧取火，茹毛飲血，和別人老死不相往來，現在的物質文明，一切科學的、工藝的、機械的貢獻在某種限度以內，它的價值是不能抹殺的。物理學家、化學家、生物學家和天文學家支配世界的力量，藝術家以及思想家原是難分軒輊的。人們與別的一切生物不同，能夠享受較滿足、較愉快的生活，全倚仗他們的思想。數學就是思想的最重要的工具，在二十世紀以後，找一種不受數學的影響的思想界的產物，恐怕是不可能的吧？
抱殘守缺的中國式的舊工藝，已經漸漸地失去了滿足人的需要的力量了。而公輸子之巧，不以規矩，也不能成方圓；師曠之聰，不以六律，仍然不能正五音。沒有他們的巧或聰的人怎能不墨守成規呢？可憐的中國啊！要想建築一所衛生的、美麗的、高大的房屋，就不得不到洋人或讀過洋書的人的麵前去屈尊求教了！
在空閑的時間到劇院裏去聽戲或音樂會裏聽音樂，為增長一點兒知識到演講會中去聽講演，都有一件使人感到苦痛的事實發現，不是力量大、腿長或錢多的人，必定被擠到人群的後麵，到了一個聽而不聞的位置，乘興而去敗興而回。哪兒能想到一個能容五六千人，沒有一個人坐著聽講的講堂，已在美國築了起來，供給不少的人享樂呢？更何況這樣偉大、適用的講堂隻憑了一個極簡單的代數式Y2=70·02X就可以築起來呢？憑借這樣一個極簡單的式子，工程師坐在屋裏，吸著雪茄，把一切牆的形式、台的長、天花板的高，不費多大力氣就從容地決定出來，而且不差分毫。這不是什麽神奇的事，僅僅依聲浪直線行進和投射角相等的角折回的性質和一個代數式的幾何的曲線的性質，便受用不盡了！對於更大、更美的建築，數學也有同樣的貢獻啊！除了丁字尺、三角板、圓規，還有什麽方法可以取方就圓、切長補短呢？基本的幫助，就是不少的幫助吧！
這樣的式子，不曾和銅元、鈔票一樣地明白地顯示它的“用”，哪兒知道經濟學上也和它很親善呢？債券的價格、拆換、生命保險、火災保險，都要以它為根據的。
雖依上麵的說法，把數學所給予人的，講得比一般人所能想到的大了一點兒，但仍然不能得到它真實、偉大的貢獻。若從天文學上考察，可以使人們更驚異，從而相信它的力量了。
太陽已落到西邊去，月亮也喚不起的夜裏，在我們眼裏所看到的美，不是掛了滿天的星星嗎？有閃縮的，有飛舞的，沒有一個人不是用“無數”兩個字來表示它們的繁多。數學對於人不能數的星星，卻用了幾個簡單的式子，就能統括起它們運行的軌跡，依著式子就可決定它們在某時的相關位置，比用人眼所看的還精準。在海王星沒有被發現的時期，因研究關於星的擾動，許多天文學家和亞當斯（Adams）就從數學上決定了它的軌道。當它行到望遠鏡可以看見的位置的時候，亞當斯和他的朋友依計算所得的位置將望遠鏡移轉，這被數學所決定的海王星果然無所逃避，被他們看見了，這在以前是不可能的。
這樣的例證雖然多，都是理科上的運用，一般以數學為理科的基礎的朋友們當然不否認，別的人難免仍有微詞。以數學為理科的基礎，雖沒有什麽錯，卻小看了數學的力量。
數學在哲學的領域占有相當的勢力，這是從人類的文化略有基礎的時候就是這樣的。柏拉圖（Plato）教他的弟子學哲學，要他們先學幾何鍛煉思想。畢達哥拉斯（Pythagoras）的哲學和數學更分不了家。其實很難找出不受數學的洗禮的哲學家，讀過哲學史的人對於這話總不至於以為武斷吧？
邏輯算是哲學的基礎了，數理邏輯（Mathematical Logic）的創建，使哲學的研究得到了較大的助力。雖然這種研究還處於萌芽狀態，但“它可以使我們易於研究，比‘言辭的推論所能得出的’更抽象的觀念，它可以指示‘用別的方法想不到’的有效的假定，它可以幫助我們立刻看出建築一個邏輯的或科學的理論至少需要的材料是什麽”。也就功不可沒了。
數學上對於“連續”和“無限”的研究，得到了美滿的結果以後，哲學上的疑問，不少也就可以得到解答了。數學和哲學在某些方麵是很難分出界限來的，因此數學不隻是理科的基礎。假使哲學在人的思想界能顯出更大的權威來，數學的功效也就值得稱為偉大了，何況它所加惠於人的還不止這些呢？
以求善為目的的人們很容易將數學輕視，有時更認為數學是會使人習於深刻的，應當反對。但真正的善本沒有深刻與否的問題，後一層沒有答辯的必要。數學是以求真為主的，和善有關係嗎？數學對於人既然有絕大的貢獻，本身當然是善的。以數學為基礎的科學，也是以有助於人的幸福為目的，數學也是沒有罪的。至於因科學受了利用而產生不少的罪惡——機械供資本家使用，使得一班操手工業的人不得不忍辱含垢地到工廠裏去討苦痛的生活，軍國主義者利用科學製造殺人的猛烈的器具，這不是科學的罪惡，更不是為科學的基礎的數學的罪惡。
“善”不是在區別是非嗎？“善”不是要尋求道德的真正意義嗎？要滿足這樣的企圖，恐怕不能不借助數學吧？
很容易與數學發生衝突，或無關係的，要算藝術了。藝術自然是從情感出發的，但純粹不加入點兒理智的成分的情感，人也是不容易有的吧？“真”和“美”也不是絕對可以分開的啊！秩序咧、和諧咧，不是美的必要條件嗎？音階的組成，不也要倚賴數學將各音的振動的關係表明嗎？一張畫有各種物件的關係位置的圖，各部分的大、小、長、短不也是數學所支配的嗎？
數學本身也能將美貢獻於人。我們和外界接觸的時候，森羅萬象，倘若在心裏不能將它們弄得井然有序，自然界的可憎恐怕使人一個早上都坐不穩了！這種綜合能力，從數學出發比較簡要、可靠，並非別的所能比擬的。就是表現一種圖形的變化，也以數學為簡單明了。數中間的奇妙變化，給人的美感也是不可解說的啊！從一到無窮的整數中，整數是無窮的；從一到二之間的數也是無窮的；從一到二分之一，或二十分之一，二百分之一……以至於二億分之一間的數仍然是無窮的。這樣的想象隻能使人們感到枯燥沒有一點兒美感嗎？崇高和偉大是興起美感的，使人們感到大而又大，大之外還有大，無論如何可以超出我們的想象力，從什麽地方還可以得到這樣的美感呢？大，大至無窮；小，小至無窮；變幻，變幻至無窮；極紛繁不可計的，可以綜合到極簡單；極簡單的可以推演到無數。這樣的能動的美感不值得讚頌嗎？
說過的話已經不少了，或者表現出數學所給予我們的不算小吧。我們從中得到的隻有這些嗎？還有更大的沒有呢？我想，從精神層麵將我們居住的世界擴延出去，使人們不局限在現實的空間內，才是數學最大的恩惠。要說到這一層，較詳的敘述實在無法免去。
我們想象有種在直線上生活的人——說他是人——他的行動隻有前進和後退，不能改變方向——無論上下、左右。倘若我們在他行進的直線上前後都加上了極薄、極短的阻隔——隻要有阻隔，無論多麽薄多麽短——如果不允許他衝破那阻隔，他隻有困死在裏麵了。在我們看來，這是何等的可笑呢？腳一提或由左右一移動就得到生路了。但這是我們這些沒有在直線方向活動的人替他想到的，他絕不能領會。
比他更進步的人——假定說——他不但能在直線上活動，在平麵內部也能活動。這個世界上的人，自然不至於有前一種人的厄運，因為他可以在平麵內部活動——雖然不能上下活動——得到生路。但是，隻要在他所在的平麵上，圍著他畫一個小圈，雖然這圈是用墨筆畫的，看不出它的厚來，隻要不允許他衝破，也就可以限製他的活動，圍困他了。我們用我們的智慧可以指示他，叫他不用力地跳下就可以出來。但“跳”是上下的活動，是他不能理會的，所以這樣的指示就和對牛彈琴一樣，不能給他微小的幫助，這也是我們作為旁觀者認為可笑的。
我們笑他們，他們固然隻能忍受了，或者他們和我們一樣，不但不能領受別人的指示，而且永遠想不到那樣的指示是有的。這句話似乎很驚異。但是我要提出一個問題：假如有人將我們用一張極薄的紙做成的箱子封閉在裏麵，不許我們扯破箱子，我們能出來嗎？不會在裏麵困死嗎？直線世界的人不打破他前後的阻礙不能出來，我們笑他；平麵世界的人不打破他四周——前後左右——的圍圈不能出來，我們笑他。我們自己呢，不過多一條出路——上下——把這條多的出路一同封住，也就隻有坐以待斃了，這不應當受譏笑嗎？這是不應當的，因為我們和他們有一點不同。他們的困難是我們所能戰勝的，我們的困難是不能戰勝的。因為除了前後、左右、上下三條路，沒有第四條路。這樣的解釋，不過聊以**罷了。我們在立體世界想不出第四條路和他們在直線世界想不出第二條路，在平麵世界想不到第三條路不是一樣的嗎？不是隻憑各自的生活環境設想嗎？直線世界的人不能因他們的想象所不能及而否認平麵世界的人的第二條路，平麵世界的人不能因他們的想象所不能及而否認我們的第三條路，我們有什麽權利因我們的想象不能及而否認第四條路呢？不將第四條路否認掉，第五、第六條路也就同樣地難於否認。有了三條路以外的路，不打破薄紙做成的紙箱，立體世界裏除了笨伯還有誰出不來呢？這樣的說法，執著在物質的現實界的人們除了驚異搖頭外，隻有用實際的生活作武器來反對。在立體世界的實際方麵，第四條路是找不出的。但這樣由合理的推論得到的理想的世界——這裏隻是比喻，數學上自有根於理論的證明——使我們的精神生活不局限在時空以內，這是何等偉大的成就！愚蠢的人們勞心、焦心地統領著一般富於獸性的人，殺戮了許多善良的朋友，才爭得尺寸的地盤。不費一矢，不傷一人，不和任何人相角逐，在立體世界以外，開拓了第四、第五……條路來。不占有而享受，精神界的領域何等廣漠！這就是數學所給予人們的！